1樓:匿名使用者
先求投影
再求ds
利用極座標變換求面積
過程如下圖:
計算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所圍成的立體的體積
2樓:您輸入了違法字
首先將兩個方程並列找出兩個曲面相交的曲線.通過消去z,得到:
2-x2=x2+2y2
即x2+y2=1
所以,此曲線位於半徑為1的圓柱面上.那麼x和y的積分限很容易就找到了:x2+y2=1
要找到z的積分限,就需要知道兩個曲面哪個在上面,哪個在下面.因為所包的體積在圓柱內部,所以要求x2+y2<1.用這個條件,我們發現2-x2>x2+2y2,即z=2-x2在上面,z=x2+2y2在下面。
根據上面的討論,我們就可以寫出體積分:
v=∫∫dxdy∫_(x2+2y2)^(2-x2)dz
這裡用符號_(x2+2y2)來表達z積分的下限,^(2-x2)表達z積分的上限.(記住xy積分限是圓形x2+y2=1.)
對z的積分很容易:
∫_(x2+2y2)^(2-x2)dz=(2-x2)-(x2+2y2)=2-2x2-2y2
剩下的就是對xy的兩重積分。
v=∫∫(2-2x2-2y2)dxdy
這個積分最容易在極座標裡做.變換為極座標時,x2+y2=r2,dxdy=rdrdφ.積分限為r從0到1,φ從0到2π.
v=∫∫(2-2x2-2y2)dxdy=∫_0^1(2-2r2)rdr∫_0^(2π)dφ
兩個積分各為:
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r2)rdr=r2-(1/2)r^4|_0^1=1/2
v=(1/2)2π=π
所以體積是π。
3樓:cyxcc的海角
聯立方程,消去z得交線在xoy面的投影曲線為x^2+y^2=1,所以v=∫∫x^2+y^2<=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重積分自己算一下吧)
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