1樓：中地數媒
目前，地下水觀測網優化設計主要採用的方法有時間序列法、水文地質學法、地質統計法以及一些最優化方法，這些方法在實際中已取得良好效果，促進了地下水觀測網優化設計這一新興交叉學科的發展。下面具體介紹地質統計法，包括地質統計學基礎、普通克立格法、正克立格法、改進的克立格法及克立格法涉及的球狀模型的擬合技術問題的研究，及其在地下水觀測網優化設計中的應用。
3.2.1 地質統計學
地質統計學是一門新興邊緣學科。它已廣泛地應用於地質勘探、煤田地質、石油地質、水文地質、工程地質、環境地質等地質學領域。在地質學領域的應用，包括礦體變化性估計、取樣最優化、合理勘探方案的選擇、資源評價的丰度估計、礦產資源的最優化估計、地下水位、地下水中化學組分濃度及含水層厚度等值線描述、含水層引數估計、地下水數值模擬的逆問題、地下水觀測網合理佈局等問題。
3.2.1.1 地質統計學基礎
應用地質統計學方法設計地下水觀測網時，要應用到兩個重要的概念，即區域化變數和變差函式。區域化變數理論是地質統計學的核心，從隨機變數的概念引申而來。區域化變數具有部分隨機性、部分確定性特徵。
例如，地下水位、地下水質、含水層的滲透係數、給水度、孔隙度以及厚度等，都可看做區域化變數。傳統的觀點認為，地下水的特性（如水位、水質等）是「確定性」或完全給定的問題，即完全給定幾何形狀、引數、邊界條件和初始條件。只要給定這些資訊，地下水的特性可應用連續性方程和達西定律唯一求得。
可是，在水文地質應用上，幾乎不能精確地給出上述問題：諸如邊界、初始條件和所有輸入項。可現有資訊的不完備性，以及採用帶有測量誤差的測量值來研究地下水問題，區域化變數理論為研究地下水問題提供了可能。
地質統計學以區域化變數理論為基礎，以半變差函式為主要工具，研究那些在空間分佈上既有隨機性又有結構性的自然現象。
（1）區域化變數
1）定義。以空間點x的三個直角座標x、y、z為自變數的隨機函式z（x，y，z）=z（x）稱為一個區域化變數。區域化變數z（x）的含義具有兩重性，即觀測前，把z（x）看做隨機函式；觀測後，把z（x）看做一個普通的三元實值函式（或空間點函式）。
2）特點。由於區域化變數是一種隨機函式，因而能同時反映觀測變數的結構性和隨機性。例如，地下水某種化學組分的濃度分佈，具有結構性和隨機性的特徵。
結構性是指在地下水系統內，空間兩個不同點x及（x+h）（此處h是三維向量（hx、hy、hz）t，它的模‖h‖=
，表示x與（x+h）點的距離）處的地下水水化學濃度z（x）和z（x+h）具有某種程度的相關性。隨機性是指在地下水系統內，任意空間點x處，其地下水化學組分濃度z（x）是一個隨機變數。這就體現了區域化變數z（x）的隨機性特徵。
（2）變差函式
變差函式是地質統計學分析的主要內容，它既能描述區域化變數的結構性變化，又能描述其隨機性變化，同時它的計算又是地質統計學計算的基礎。
1）定義。假定地下水系統內x處和（x+h）處的地下水水位分別為z（x）和z（x+h），是兩個區域變數，h是兩點間的距離，這兩個區域化變數是相關的，這兩個區域化變數之間變化性用變差函式來描述。變差函式可定義為x和（x+h）處區域化變數z（x）和z（x+h）之差的平均的數學期望，即
2γ（x，h）=e[z（x）-z（x+h）]2或γ（x，h）=1/2e[z（x）-z（x+h）]2（3.1）
在地質統計學的觀測值中，同一點取樣品只能取一個樣品，只能得到一對z（x）和z（x+h），因而e[z（x）-z（x+h）]2、e[z（x）-z（x+h）]值無法求得。必須對區域化變數提出一些假設。
二階平穩假設滿足下列條件：
a.在整個研究區域內e[z（x）]=m。
b.在整個研究區域內，z（x）的協方差存在且相同。cov｛z（x），z（x+h）｝=e[z（x）z（x+h）]-e[z（x）]e[z（x+h）]=e[z（x）z（x+h）]-m2=c（h）
在實際工作中，二階平穩假設不能滿足，故提出本徵假設。
本徵假設滿足下列條件：
a.在整個研究區域內e[z（x）-z（x+h）]=0；
b.在整個研究區內，增量的方差存在且平穩，即
var｛z（x）-z（x+h）｝=e[z（x）-z（x+h）]2-｛e[z（x）]-e[z（x+h）]｝2=e[z（x）-z（x+h）]2=c（h）（3.2）
在本徵假設下
γ（x，h）=1/2e[z（x）-z（x+h）]2
2）變差函式的性質。設z（x）滿足二階平穩假設，則有γ（h）存在且平穩。於是，變差函式有以下的性質：
a.γ（0）=0；
b.γ（h）≥0；
c.γ（-h）=γ（h）；
d.[-γ（h）]必須是條件非負定函式（即-γ（xi-xj）構成的矩陣是條件非負矩陣）。
e.γ（h）與協方差c（h）的關係為γ（h）=c（0）-c（h）
式中：c（0）為驗前方差。
3）變差函式理論模型。設區域化變數z（x）滿足本徵假設，此時，變差函式理論模型有：
a.球狀模型，一般表示式為
岩溶地區地下水與環境的特殊性研究
式中：a為變程；a1為襤；a0為塊金常數。
b.指數模型
一般表示式為
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式中：a為不是變程，3a是變程。
c.高斯模型
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式中：a不是變程，
是變程。
d.冪函式模型
一般表示式為γ（h）=α0+α1hλ，0 ＜λ＜2，當λ=1 時，γ（h）=α0+α1h，α0為直線截距，α1為直線斜率，為線性模型。
4）變差函式的計算。應用地質統計學進行實際計算時，重要的一步就是計算變差函式。一般根據地下水系統內實測點水文地質變數（水位、水質、導水系數等）值、計算實驗變差函式值、繪製變差函式圖、選取合適的理論變差函式，採取最佳的擬合技術，確定變差函式的表示式[2]。
常用的公式是matheron依據本徵假設，提出的傳統實驗變差函式計算公式。
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式中：nh=n（n-1）/2，n為地下水系統內觀測點數目，nh為被距離向量h分隔的區域化變數z（x）和z（x+h）數值對的數目；
（h）是實驗變差函式。
matheron指出，這種計算方法變差函式的可靠性隨距離增大而減少，當區域化變數為非正態時，其估計效果明顯下降；當取樣點的分佈極不規則時也就不穩定了。第二種方法是cressie和hawkins（1980）基於正態性假設提出的實驗變差函式計算公式。第三種方法henning more提出的穩健變差函式估計法，即
岩溶地區地下水與環境的特殊性研究
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式中：âi為待定的未知權係數。
在水文地質學應用中，一般採用第一種方法。
3.2.1.2 克立格法
（1）普通克立格法
克立格法是一種對時空分佈變數求最優、線性、無偏內插估計量的方法[3]。在水文地質方面，它可根據已知觀測點上的實測資料，對觀測變數進行結構性分析（變差函式確定）之後，對周圍已知點的測量值賦予一定的權係數，進行加權平均估計待估點觀測變數。
若z（x）滿足本徵假設，則變差函式存在，在不考慮估值權係數非負約束的條件下，普通克立格法是通過如下的方程組來獲得權係數及估計誤差標準差的。
岩溶地區地下水與環境的特殊性研究
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若令γij=γ（xi，xj），且γ（xi，xi）=0，將式（3.9）寫成矩陣形式為
γ·λμ=γ0（3.11）
式中：λμ=（λ1，λ2，…，λn，μ）t；γ0=（γ10，γ20，…，γn0，1）t
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式（3.10）改寫成
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（2）正克立格法
在運用普通克立格方程計算克立格係數γi（i=1，2，…，n）時，往往計算出的克立格係數中會出現一些負值，沒有要求λi（i=1，2，…，n）為正值。負的權係數的存在給出了一些不能令人滿足的計算結果，造成地下水位（或地下水化學組成的濃度）的估計在某些點出現較大的偏差。因此，在應用普通克立格法時，當出現負權係數數值時，要對該方法進行改進，這裡介紹一種改進普通克立格法的正克立格法。
若令基本的λ≥0，非基本的λ=0，基本的α=0，非基本的α≥0，即λ向量與α向量分別寫成為
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式中：下標「a」和「b」指基本的和非基本的向量。則正克立格方程組為
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這一方程組具有n×1個方程和n×n未知數，可以直接求解。
正克立格方程求解步驟：
第一步，用普通克立格法求解，若求得的全部權係數λi（i=1，2，…，n）是非負的權係數，則終止演算法，所求λi為最佳值。
第二步，若用普通克立格法求得的λi（i=1，2，…，n）中部分值為負，必須進行附加計算，按式計算，採用迭代法，在求解的過程中找出最小的權係數。
第三步，若得到的最小權係數是非負的，則演算法把當前的解作為最佳解而終止。若最小的權係數是負的，則從當前的一組λi的基本值中消去對應的λi，這時的解（矩陣的矩和後來的權）不斷被修改。
第四步，反覆迭代，在解的過程中找到最小的權係數值，不斷修改，直至所有的λi全部為非負為止。
（3）改進克立格法
在普通克立格方程組中，如果考慮權係數的非負性，則令：
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這樣，求解普通克立格方程組的問題就可轉化成如下的一個線性規劃問題：
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令t=（t1，t2，…，tn）t，l=（λ1，λ2，λn）t，m=（μ1，μ2）t，y=（l，m）t，u為元素全為1的n維橫向量，θ為元素全為零的n+2維橫向量，i為n階單位矩陣，a、b分別為
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則線性規劃可寫為如下矩陣形式：
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it+ay≥b
it-ay≥-b（3.18）
ul=1
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（4）克立格法使用範圍
克立格法在水文地質學研究中，具有廣泛的應用前景，在用於地下水觀測網優化設計方面，它具有以下幾個特點：
1）應用變差函式描述水文地質變數的時、空的結構性和隨機性，避免應用複雜的地下水系統數學模型。因此，該方法較簡單，計算量小。
2）不需要更深入瞭解水文地質物理背景，可應用已有的地下水觀測資訊進行結構性分析。因而這種方法不涉及水文地質初始、邊界條件及地下水系統的確定性引數和隨機性引數。
3）應用實測資料確定變差函式時，需要較多的觀測點（一般大於30個），以保證計算精度。
4）對於人工干擾較為強烈的地下水系統，克立格法難於考慮輸入項的時空變化。
基於上述特徵，克立格法的應用範圍是：
1）可用於大區域優化設計地下水觀測網密度的優化設計。
2）可用於人工干擾不大的水文地質區地下水觀測網密度的優化設計。
3）克立格法結合數學規劃法，可以確定給定經費約束下的地下水觀測網的優化設計問題。
4）克立格法結合地下水系統數值模擬方法，可以研究任何條件下的地下水觀測網優化設計。
3.2.2 加權線性規劃法在球狀模型擬閤中的應用
對於變差函式模型的擬合問題一直沒有很好的解決方法，以前人們通常採用人工擬合的方法，就是在充分考慮地質因素的基礎上，根據實驗變差函式曲線的特徵，選擇一定的理論模型，然後用直觀的方法確定變差函式的引數。這種方法耗時、費力，而且缺乏統一客觀標準；同時還影響了地質統計學整個計算過程在計算機上的自動化。目前已提出好幾種擬合方法，如：
非線性迴歸最小二乘法、加權多項式擬合法、線性規劃擬合法、目標規劃擬合法、遺傳演算法等。王仁鐸教授等提出用加權多項式方法來擬合變差函式球狀模型理論的模型引數，把變差函式自動擬合的問題向前推進了一步，但是沒有解決理論模型引數的正負號問題。矯希國等提出用線性規劃擬合變差函式球狀理論模型的引數，由線性方程組非負解決理論模型引數的正負號問題；但該方法對各實驗變差函式值等同對待，沒有強調前面的幾個資料點，而變差函式值估計可靠性是隨距離的增大而減少的。
近些時候提出的遺傳演算法，是求解非線性優化問題的有力工具，它具有全域性尋優的特點，利用遺傳演算法能較好地擬合變差函式，但計算程式設計較為複雜。為此分別運用結合上述兩種方法而提出用加權線性規劃法對變差函式進行球狀模型進行自動擬合，下面概括介紹這種方法的應用。
空間變數的地質統計學研究表明，在對實驗變差函式進行擬合時，球狀模型及其套合結構形式是最常用的理論模型。
對球狀模型來說，擬合主要是針對0＜h≤a1範圍內的變異函式表示式：
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進行擬合以求出模型中的引數c0、c、a並使之滿足c0≥0、c＞0、a＞0的要求。將上式改寫成：
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令岩溶地區地下水與環境的特殊性研究
則上式又可改寫為
y=b0+b1x1+b2x2（3.22）
鑑於c0、c、a均有非負要求，所以也要求b0、b1、b2≥0。如果在計算實驗邊變差函式時有m對資料：｛hj，γ*（hj）（j=1，2，…，m）｝，可先將這m對資料變換成：
｛（yj，x1j，x2j）（j=1，2，…，m）｝，並令
tj=|yj-b0-b1x1j-b2x2j|（j=1，2，…，m）（3.23）
按照最小二乘法原理，最佳擬合應滿足
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另外，考慮到在計算實驗變差函式時，間隔hj較小時參與計算γ*（hj）的資料對數目較多，計算結果有較高的可靠性和重要性，應擬合得好一些，精確些。隨著hj的增大，參與計算γ*（hj）的資料對數目相對較少，結果的可靠性則相應降低。因此，在進行理論變差函式擬合時，應使所擬合的理論變差函式在hj較小時儘可能逼近γ*（hj），hj較大時誤差可能大些。
上述思想可通過對不同的tj賦予不同的權值來實現。
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式中：ωj為權值，其值即可由下式計算，也可通過人機對話方式給出。
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式中：nj為hj時計算γ*（hj）的資料對數目；a為放大係數。
再考慮到所擬合變數的非負要求，這樣，實驗變差函式的擬合就可表達為
岩溶地區地下水與環境的特殊性研究
tj=|yj-b0-b1x1j-b2x2j|（j=1，2，…，m）
b0≥0（3.27）
b1≥0
b2≥0（j=1，2，…，m）
上式是個線性規劃問題，進一步可將其寫成：
岩溶地區地下水與環境的特殊性研究
tj+b0+b1x1j+b2x2j≥yj
-tj+b0+b1x1j+b2x2j≤yj
b0≥0（3.28）
b1≥0
b2≥0
tj≥0（j=1，2，…，m）
令t=｛t1，t2，…，tm｝t，b=（b0，b1，b2）t，w=｛ω1，ω2，…，ωm｝，u=（0，0，0），i為m階單位矩陣，y=（y1，y2，…，ym）t
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求出b0，b1，b2後，就可按下式得到模型引數值c、c0、a。
c0=b0
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