1樓：匿名使用者
不是所有題都要寫上下限，但所有題都可寫上下限。實際上公式：y＇＋py＝q之通解為
y＝［e＾（－∫pdx）］｛∫q［e＾（∫pdx）］dx＋c｝
中要求每一個不定積分都要算出具體的原函式且不再加c。而本題∫pdx＝ax，但
∫q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因為有抽象函式f（x）無法算出具體的原函式，所以要用不定積分與變限積分的公式：
∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋c（所以每個題都可寫上下限。本題用此公式取上式的a＝0，c換為c1，（當然被積函式也要換成本題的被積函式），代入公式後c1＋c換為c2再換為c。這樣才能代入初始條件y（0）＝0，求出c。
擴充套件資料
一階線性微分方程的定義：
關於未知函式y及其一階導數的一次方程，稱之為一階線性微分方程。
(1)、寫出對應於非齊次線性方程的齊次線性方程，求出該齊次線性方程的通解。
(2)、通過常數易變法，求出非齊次線性方程的通解。
2樓：天命
加了積分限是為了表明它不含常數，而後面加了c0了
3樓：上帝帝帝帝帝帝
單看式子不用加，是不是什麼題目裡的？
4樓：施秀榮滕綢
對於一階微分方程,形如:
y'p(x)y
q(x)=0
的稱為"線性"
例如:y'=sin(x)y是線性的
但y'=y^2不是線性的
注意兩點:
(1)y'前的係數不能含y,但可以含x,如:
y*y'=2
不是線性的
x*y'=2
是線性的
(2)y前的係數也不能含y,但可以含x,如:
y'=sin(x)y
是線性的
y'=sin(y)y
是非線性的
(3)整個方程中,只能出現y和y',不能出現sin(y),y^2,y^3等等,如:
y'=y
是線性的
y'=y^2
是非線性的
高等數學 一階線性微分方程的推導過程
5樓：匿名使用者
你求個導就可以了啊
e^∫p(x)dx的導數就是
e^∫p(x)dx *p(x)
那麼二者相乘的導數
再就是上面的結果
高數，齊次微分方程。公式中，右側積分為什麼積出來x不用加絕對值?
6樓：匿名使用者
右側可積出一個常數c 對x取正負 為了簡便直接 包含在c中
7樓：匿名使用者
右側積分出來是要加絕對值的，除非題目告訴x是大於零的。或者題目隱含x大於零的條件
8樓：匿名使用者
右側可以寫成lncx
各位大佬，高數非齊次線性微分方程的特解y*怎麼設?就是qm(x)，怎麼設。
9樓：粒下
二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x)，其特解y*設法分三種情況。
1、如果f(x)=p（x），pn（x）為n階多項式。
若0不是特徵值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因為qm(x)與pn（x）為同次的多項式，所以qm(x)設法要根據pn（x）的情況而定。
比如如果pn（x）=a（a為常數），則設qm(x)=a（a為另一個未知常數）；如果pn（x）=x，則設qm(x)=ax+b；如果pn（x）=x^2，則設qm(x)=ax^2+bx+c。
若0是特徵方程的單根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*qm(x)。
若0是特徵方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*qm(x)。
2、如果f(x)=p（x）e^αx，pn（x）為n階多項式。
若α不是特徵值，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=qm(x)*e^αx，qm(x)設法要根據pn（x）的情況而定。
若α是特徵方程的單根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*qm(x)*e^αx。
若α是特徵方程的重根，在令特解y*=x^k*qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*qm(x)*e^αx。
3、如果f(x)=[pl（x）cos(βx)+pn（x）sin(βx)]e^αx，pl（x）為l階多項式，pn（x）為n階多項式。
若α±iβ不是特徵值，在令特解y*=x^k*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=0，m= max ，rm1(x)與rm2(x)設法要根據pl（x）或pn（x）的情況而定（同qm(x)設法要根據pn（x）的情況而定的原理一樣）。
即y*=[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx
若α±iβ不是特徵值，在令特解y*=x^k*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx中，k=1，即y*=x*[rm1(x)cos(βx)+rm2(x)sin(βx)]e^αx。
10樓：匿名使用者
如圖qm(x)是與pm(x)同次的多項式
舉個例子
二階微分方程為……=2e^x
此時pm(x)=2
設qm(x)=b
如果二階微分方程為……=2xe^x
設qm(x)=ax+b
如果二階微分方程為……=2x²e^x
設qm(x)=ax²+bx+c(不過這種情況的題目很少很少見，我是沒見過)
rm(x)是m次多項式，m=max
什麼意思呢？
跟上面的類似。
假設二階微分方程為……e^x(2cosx+2sinx)明顯此時為pl(x)=pn(x)=2，那麼就是x^0設rm1(x)=a，rm2(x)=b
如果二階微分方程為……e^x(2xcosx+2sinx)這時候最大次數是x^1，
所以設rm1(x)=ax+b，rm2(x)=cx+d二次方的我就不列舉了，很少見。
11樓：命定
先將原方程等號右端的自由項看成 f(x)=x^k · pm(x) · e^λx 方程①
1、對應題主的情況一，qm(x)=b0
原方程 y"+y'-2y=2e^x
原方程對應的齊次特徵方程 r^2+r-2=0，
齊次特徵根 r1=1
r2=-2
然後看到原方程等號右端為 2e^x，
將 2e^x 與 x^k·pm(x)·e^λx 比較，很明顯可以看出λ=1
λ=1=r1，而λ≠r2，可以看到λ為單特徵根因為只與其中的一個r1相等
所以k=1，因為單特徵根所以k取1。
還記得回答頂部的方程①嗎？
方程①變成了 f(x)=x^1 · pm(x) · e^1x =x · e^x · pm(x)
發現m還不知道，再將 x·e^x·pm(x) 與 2e^x 比較，
很明顯可以看出pm(x)=2，所以設qm(x)=b0，常數對應常數嘛
因為 f(x)=x·e^x·pm(x) 中的x是根據k取得，跟pm(x)無關
e^x是根據λ取得，跟pm(x)也無關。
所以 pm(x) 只可能與 2e^x 的常數2有關。既然pm(x)只與常數有關，
那就設qm(x)為一個常數b0
所以 y*=x^k · pm(x) · e^λx
最後設為 y*=b0 · x · e^x
2、對應題主的情況二，qm(x)=b0x+b1
同理原方程 y"-3y'+2y=x·e^2x
r1=1，r2=2
比較e^2x與e^λx，所以λ=2
λ=2=r2，所以λ為單特徵根，所以k=1
此時原方程等號右端還有一個 x ，就是留下來對比pm(x)的
所以 qm(x) 設為 b0x+b1 形式
所以最後y*=x^k · qm(x) · e^λx = x · (b0x+b1) · e^2x
即y*= x · (b0x+b1) · e^2x
3、對應題主的情況三，qm(x)=b0x^2+b1x+b2
原方程 2y"+5y'=5x^2-2x-1
r1=0
r2=-5/2
對比λ=0=r1，所以k取1，
而pm(x)要去對應5x^2-2x-1，所以qm(x)設為b0x^2+b1x+b2
所以最後y*=x^k · qm(x) · e^0 = x · (b0x^2+b1x+b2) = b0x^3+b1x^2+b2x
即y* = b0x^3+b1x^2+b2x
高等數學微分方程齊次微分方程特解通解問題……課本上寫的是，兩個特解的線性組合是齊次方程的通解，為什
12樓：匿名使用者
對於常微分方程來說，其導數項為多項式形式，係數為常數，其解空間是線性空間，線性空間的特點是滿足可加性和齊次性，就是疊加原理，因此y1=e^(2x)，y2=2e^(-x)-3e^(2x)的任何線性組合a1y1+a2y2都是原方程的解，其中a1,a2是常數。事實上，特別是e^(2x)，e^(-x)是解空間的基。
高等數學一階線性微分方程的推導過程
你求個導就可以了啊 e p x dx的導數就是 e p x dx p x 那麼二者相乘的導數 再就是上面的結果 高等數學。這是一階齊次線性微分方程通解的公式推導,為什麼右邊加了積分限?不是所有題都要寫上下限,但所有題都可寫上下限。實際上公式 y py q之通解為 y e pdx q e pdx dx...
一階線性非齊次微分方程y p x y q x 的通解是
先算對copy應的齊次方程的解.y p x y 0 y y p x lny baip x dx c y ke p x dx 下面用du常數變易法求解原zhi方程的解.設k為daou x y u x e p x dx y u x e p x dx u x p x e p x dx 代入得 q x u ...
x x3（x的三次方）求解一階線性微分方程求解求解
用一階線性微分方程通解公式。積分號 後面省略 p x dx 2 x dx 2lnx cq x e p x dx dx x 3e 2lnx dx xdx x 2 2 c y e p x dx q x e p x dx dx c e 2lnx x 2 2 c x 2 x 2 2 c x 4 2 x 2c...