1樓：慄慄慄慄栗子
對角線的交點
任取一點o（交點除外），並連線四邊形的頂點，則有△oac、△obd，根據三角形性質，兩邊之和大於第三邊，則oa+oc>oa+oc、ob+od>ob+od，相加則oa+oc+ob+od>oa+oc+ob+od
2樓：
費馬點之求法（參考圖一）。
(1) 做一三內角均小於120°之△abc。
(2) 以 ， 為一邊，分別向外側做正三角形△abd與△ace。
(3) 連線 ， 交於p點，則p點即為所求。
2.費馬點的性質：l= + + 為最小值。
～首先證明由上述作法做的費馬點存在-----
ㄅ.（參考圖二）旋轉△bpc，
使 與 重合（ = ），
p點落在h處
則∠bpc=∠bhg=120°
ㄆ.又∠bhp=60°（證明在ㄇ）
∴∠bhg+∠bhp=180°
故a，p，h，g三點共線
ㄇ.∵△bhg △bpc
得 = ， =
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠pbh
因此△bph為正△，得 =
知存在一點p使得 + + = + + =
～再來證明所求出的點至三頂點距離最小
ㄅ.（參考圖三）在abc內另取一點q異於p，
連線 、 、
ㄆ.參考步驟（1）之證法同理可證得 + + = + +
ㄇ.故p點使 + + 為最小值
ⅱ.一般費馬點的**僅限於三角皆小於120°三角形內部，那麼如果討論任一角大於或等於120°之三角形，是否能找到一點至三頂點距離和最短？（參考圖四）
(1) △abc的∠a＞120°，p為△abc內部任一點
延長 至b'，使 =
做∠b'ap'=∠bap，取 =
故△b'ap' △bap，得 = 。
於是 + + = + + ，
(2) 但因∠a＞120°，故∠b'ab＜60°，
亦得∠pap'＜60°；從而等腰三角形p'ap
中∠ap'p＞60°，故 ＞
則 + + ＞ + + ＞ + ，即 + + ＞ +
亦即：如果有一點p與a重合，則p點即是到a、b、c三點距離之和最小的點。
(3) 證得：若已知三角形有一內角大於或等於120°，則費馬點即為該內角的頂點。
ⅲ.三內角皆小於120°的三角形才存在費馬點，但在日常生活中不止三角形需要找到一點到各頂點距離和最小ㄚ！也就是如果改變形狀後是否能找到一點p點，使得p點至頂點距離和最小，我們以下就最簡單的四邊形先做討論（參考圖五）。
(1) 已知：四邊形abcd
求作：abcd內的p點
做法：在四邊形abcd中
∵對角線為直線
∴對角線 為a、c之間的最小距離
同理對角線 為b、d之間的最小距離
發現： 、 之交點p為四邊形abcd內之一點使得 + + + 為最小值
即p點至四邊形四個頂點距離和最小
(2) 證明：（參考圖六）
在四邊形abcd內另取一點p'異於p
連線 、 、 、
△p'bd、△ap'c中
+ ＞ 且 + ＞ （任兩邊和大於第三邊）
∴ + + + ＞ + = + + +
故p點使 + + + 為最小值
(二) 運用物理學方法**費馬點之相關理論———常聽人說『數學是科學之
母』，那是否能運用科學方法驗證費馬點的存在性或一些費馬點的性質ㄋ？參考老師的意見並思考後做了一系列有關力學的實驗：
1. 實驗一：從三力平衡證明費馬點的性質－ 、 、 所夾的三個角必為120°。
(1) 以木條為邊組裝正三角形，三頂點各裝置一滑輪，取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊w，分別由三滑輪垂下，另一端連在一起代表p點。
(2) 讓重物自然垂下到達靜止狀態，量測∠apb、∠apc、∠bpc之角度（資料說明在表一）。
(3) 因為三重物重量相等，三條線的張力亦相同，即f1=f2=f3=w在平衡時所構成的力圖（參考圖a）形成的「封閉三角形（參考圖b）」為正三角形，亦即該力圖之三力所夾的三個角
皆為120°。
(4) 將步驟(2)之實驗裝置垂直置於一座標平面之上方，紀錄p點座標，再和（三）求出之p點一次函式，以電腦程式計算（詳細程式參考附件二）是否符合。
(5) 重複以上步驟5次，並改變三角形的形狀重複操作。
2. 實驗二：從實驗發現費馬點具有最低的位能的特性。
(1) 以木條為邊組裝正三角形abc置於水平面上，三頂點各裝置一滑輪，取三條等長棉線一端各懸掛一等重黏土塊w，分別由三滑輪垂下，由實驗一已知p點為費馬點。
(2) 於p點（費馬點）懸掛一黏土塊w，讓重物自然垂直向下移動到達靜止狀態（裝置參考圖c），量測此時p點與水平面之垂直距離，分別作三次後取平均值，高度為hp。
(3) 將p點任意移向三邊 、 、 上任意點，然後將重物放開，發現不論在任何邊上，均會趨向費馬點。根據「物體會自由趨向能量最低點」的原理，可證明費馬點具有最低的位能。
(4) 將步驟(3)之實驗過程分別紀錄得到位能高度h'（三次平均值）、 、 （代表從 點釋放後的狀況，依此類推）、 、 、 、 （資料說明在表二）。
(5) 重複以上步驟3次，並改變三角形的形狀重複操作。
(三)求作直角座標系中的費馬點驗證物理實驗結果———直角座標常被利用在地圖的表示上，是否我們能找出求作直角座標系中的p點（p點為至各頂點距離和最小的一點）再配合電腦程式來驗證我們實驗結果？
(1) 三角形---
a.為方便起見一邊固定於x軸上且一頂點為原點，做法乃利用前述（一）的想法
b.以下先就特殊三角形一一做討論再推廣至一般三角形
ㄅ.三角形（參考圖七）
== =
故p點座標為（ ）
ㄆ.等腰三角形（參考圖八）
∵四邊形aobc為鳶形
∴又∠opc=120°
因此∠opd=60°
故 = = =
則p點座標為（ ）
ㄇ.直角三角形（參考圖九）
設過p點之函式為y=ax+b
將a，b，c，d四點座標代入
求 ， 之方程式並解聯立方程式
： y= x+y1
： y= (x-x1)
得p點座標為
ㄈ.等腰直角三角形
等腰直角三角形為等腰三角形之一種，故p點座標可參考等腰三角形之求法。同理p點座標也可參考直角三角形之求法。
ㄉ.任意三角形（參考圖十）
設過p點之函式為y=ax+b
將a，b，c，d四點座標代入
求 ， 並解聯立方程式
： y=
： y=
得p點座標為
(2) 四邊形---
a. 為方便起見一邊固定於x軸上且一頂點為原點，做法乃利用前述（三）的想法
b. 以下先就特殊四邊形一一做討論再推廣至任意四邊形
ㄅ.正方形（參考圖十一）
∵四邊形abco為正方形
∴ 平分 且 =
（正方形中對角線互相平分）
故p點座標為（ ）
ㄆ.長方形（參考圖十二）
∵四邊形abco為長方形
∴ 平分 且 =
（長方形中對角線互相平分）
故p點座標為（ ）
ㄇ.平行四邊形（參考圖十三）
∵四邊形abco為平行四邊形
∴ 平分 且 =
（平行四邊形中對角線互相平分）
故p點座標為（ ）
ㄈ.菱形（參考圖十四）
∵四邊形abco為菱形
∴ 平分 且 =
（菱形中對角線互相平分）
故p點座標為（ ）
發現：若四邊形對角線互相平分，
則其p點為此四邊形對角線之中點。
ㄉ.等腰梯形（參考圖十五）
作 // //
∵ // //
∴△abp~△opc
設 為 ， 為y-
( )∴
又∵abco為等腰梯形
∴故p點座標為（ ）
ㄊ.兩個內角為直角的梯形（參考圖十六）
作 // //
∵ // //
∴△abp~△opc
設 為 ， 為y-
( ) =
∴∵ // //
∴△adp~△aoc
設 為∴
故p點座標為（ ）
ㄋ.任意梯形（參考圖十七）
作 // //
∵ // //
∴△abp~△opc
設 為 ， 為y-
( )=
∴∵ // //
∴△adp~△aoc
設 為∴
故p點座標為（ ）
（以下為方便起見，將兩頂點固定於x軸上）
ㄌ.鳶形（參考圖十八）
∵ 為對角線
∴p點在x軸上
又四邊形abco為鳶形
∴ 平分且
故p點座標為（ ）
ㄍ.任意凸四邊形（參考圖十九）
設過p點之函式為y=ax+b
將a，b，c，o四點座標代入
求 ， 之方程式並解聯立方程式
： y=
： y=0
得p點座標為
五、 研究結果
以下配合直角座標及物理實驗，依圖形形狀不同一一分析物理及數學所求的資料，找出其相關性。
（一） 正三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形和任意銳角三角形的p點一次函式（參考前述直角座標的圖形）：
1. 正三角形：（ ）
2. 等腰三角形：（ ）
3. 直角三角形：
4. 等腰直角三角形：（ ）或
5. 任意三角形：
（二） 正方形、長方形、平行四邊形、菱形、等腰梯形、兩個內角為直角的梯形、任意梯形、鳶形和任意四邊形的p點一次函式（參考前述直角座標的圖形）：
1. 正方形、長方形、平行四邊形、菱形：（ ）
2. 等腰梯形：（ ）
3. 兩個內角為直角的梯形：（ ）
4. 任意梯形：（ ）
5. 鳶形：（ ）
6. 任意四邊形：
（三） 實驗一資料（表一）：
正三角形 a(2,2 ) b(4,0) c(0,0)
次數 1 2 3 4 5
角度 ∠apc 120° 120.5° 118° 120.5° 120°
∠apb 120° 119.5° 122° 121° 124°
∠bpc 120° 119° 119° 120° 117°
p點座標 測量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
計算值 約(2,1.154701)
等腰三角形 a(1.5, ) b(3,0) c(0,0)
次數 1 2 3 4 5
角度 ∠apc 123° 118° 119° 122° 120°
∠apb 119° 120° 119.5° 120° 120°
∠bpc 121° 120° 121° 121° 119°
p點座標 測量值 (1.50,1.08) (1.51,0.92) (1.61,0.89) (1.60,0.98) (1.52,1.02)
計算值 約(1.5,0.866025)
直角三角形 a(0,4) b(3,0) c(0,0)
次數 1 2 3 4 5
角度 ∠apc 119° 118° 122° 121.5° 121°
∠apb 120° 121° 120.5° 121° 120°
∠bpc 120° 121° 119.5° 118° 120°
p點座標 測量值 (0.66,0.84) (0.69,0.65) (0.79,0.55) (0.71,0.58) (0.84,0.56)
計算值 約(0.75117,0.695789)
等腰直角三角形 a(0,3) b(3,0) c(0,0)
次數 1 2 3 4 5
角度 ∠apc 121° 120° 119° 118.5° 120°
∠apb 119° 119.5° 121° 119° 119.5°
∠bpc 118° 118° 119.5° 119.5° 118°
p點座標 測量值 (0.58,0.61) (0.72,0.58) (0.62,0.59) (0.50,0.80) (0.66,0.56)
計算值 約(0.633975,0.633975)
任意三角形 a(2.2,3.6) b(4.8,0) c(0,0)
次數 1 2 3 4 5
角度 ∠apc 121.5° 119.5° 120° 118.5° 120°
∠apb 119.5° 120° 120.5° 120° 122°
∠bpc 119° 120.5° 120° 119° 120°
p點座標 測量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
計算值 約(2.257189,1.381958)
matlab畫圖 平面上已知一點，要從原點（0,0）畫一條射線過這個點，並且要延伸得足夠長，怎麼畫
如果平面上的這個點是 1,2 那麼 可知要畫的這個影象時函式y 2x的影象程式設計如下 x 0 0.01 500 y 2 x plot y,x 祝學習進步 需要過的點 x 橫座標 y 縱座標 w 你要延長之後的倍數，大於1 xx 0 0.5 x yy xx y x xx w xx yy w yy p...
一點一點大咱們都有它猜是什麼，一點一點大咱們都有它猜一字是什麼
謎底 頭 解釋 頭字中包含兩個點和大，因此對應一點一點大，人人都有頭，因此對應咱們都有它，所以答案為 頭 字義 頭 t u tou 1.人身最上部或動物最前部長著口 鼻 眼等器官的部分。2.指頭髮或所留頭髮的樣式 剃 梳 平 分 3.物體的頂端或末梢 山 筆 兒。中間粗，兩 兒細。4.事情的起點或終...
在平面直角座標系中，點A是y軸上一點，若點A的座標為（a 1，a 2），則a另一點B的座標（a 2，a
點a a 1，a 2 在y軸上，a 1 0，解得a 1，a 2 1 2 1，a 3 1 3 2，所以，點b的座標為 1，2 故答案為 1 1，2 在平面直角座標系中，點a是y軸上一點，若它的座標為 a 1，a 1 另一點b的座標為 a 3，a 5 則點b的 點a a 1，a 1 是y軸上一點，a 1...