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實數編輯
[shí shù]
包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不迴圈小數，有理數就包括整數和分數。數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。
本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。（任何實數都可在數軸上表示。）
目錄1基本概念
2分類3歷史發展
4相關定義
5相關性質
基本運算
四則運算封閉性
有序性傳遞性阿基米德性
稠密性唯一性完備性高階性質
拓撲性質
6擴充套件與一般化
1基本概念
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正實數，負實數和零三類。實數集合通常用字母 r 表示。而r^n表示 n 維實數空間。
實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究物件。
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是迴圈的，也可以是非迴圈的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n為正整數，包括整數）。
在計算機領域，由於計算機只能儲存有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。
1）相反數（只有符號不同的兩個數，它們的和為零，我們就說其中一個是另一個的相反數） 實數a的相反數是-a，a和-a在數軸上到原點0的距離相等。）
2）絕對值（在數軸上另一個數與a到原點0的距離分別相等） 實數a的絕對值是：|a|
①a為正數時，|a|=a（不變）
②a為0時， |a|=0
③a為負數時，|a|=-a（為a的相反數）
(任何數的絕對值都大於或等於0，因為距離沒有負的。)
3）倒數（兩個實數的乘積是1，則這兩個數互為倒數） 實數a的倒數是：1/a （a≠0）
4）數軸（任何實數都可在數軸上表示。）
定義：如果畫一條直線，規定向右的方向為直線的正方向，在其上取原點o及單位長度oe，它就成為數軸線，或稱數軸。
（1）數軸的三要素：原點、正方向和單位長度。
（2）數軸上的點與實數一一對應。[1]
5）平方根（某個自乘結果等於的實數，表示為〔√￣〕，其中屬於非負實數的平方根稱算術平方根。一個正數有兩個平方根；0只有一個平方根，就是0本身；負數沒有平方根。）
6）立方根（如果一個數x的立方等於a，即x的三次方等於a(x^3=a)，即3個x連續相乘等於a,那麼這個數x就叫做a的立方根（cube root），也叫做三次方根）
2分類按性質分類是：正數、負數、0；
按定義分類是：有理數、無理數
實數的分類 可以分為整數,分數
整數又可分為正整數,0,負整數
分數又可分為正分數,負分數 2)可以分為正數,0,負數
正數又可分為正整數,正分數
負數又可分為負整數,負分數
3歷史發展
埃及人早在大約公元前2023年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發現了負數，據說中國也曾發現負數，但稍晚於印度。
實數相關資料(16張)
直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。直到2023年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。
實數包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不迴圈小數，有理數就包括無限迴圈小數、有限小數、整數。數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。
本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。
到了19世紀70年代，著名的德國數學家外爾斯特拉斯(1815-1897 )、康托爾(1845-1918 )和法國的柯西(1789-1857 )及戴德金(1831-1916) 等都對實數理論進行了研究，獲得了幾種形異而實同的實數理論，其中以戴德金分割法 1872 ；康托爾的有理數「基本序列」法 1872 為最有代表性。上述兩法與外爾斯特拉斯的實數理論合稱實數理論的三大派。
4相關定義
從有理數構造實數
實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進位制或二進位制如 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。這裡給出其中一種，其他方法請詳見實數的構造。
公理的方法
設 r 是所有實數的集合，則：
集合 r 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。
域 r 是個有序域，即存在全序關係≥ ，對所有實數 x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z；
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 r 滿足完備性，即任意 r 的有非空子集s ( s∈r，s≠φ)，若 s 在 r 內有上界，那麼 s 在 r 內有上確界。
最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於 2 的有理數的集合存在有理數上界，如 1.5；但是不存在實數上界（因為
不是有理數）。
實數通過上述性質唯一確定。更準確的說，給定任意兩個有序域 r1 和 r2，存在從 r1 到 r2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。
5相關性質
基本運算
實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數（即正數和0）還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。
圖冊(4張)
四則運算封閉性
實數集r對加、減、乘、除（除數不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不為零）仍然是實數。
有序性實數集是有序的，即任意兩個實數a、b必定滿足下列三個關係之一：ab.
傳遞性實數大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.
阿基米德性
實數具有阿基米德（archimedes）性，即對任何a，b ∈r，若b>a>0,則存在正整數n，使得na>b.
稠密性實數集r具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數.
唯一性如果在一條直線（通常為水平直線）上確定o作為原點，指定一個方向為正方向（通常把指向右的方向規定為正方向），並規定一個單位長度，則稱此直線為數軸。任一實數都對應與數軸上的唯一一個點；反之，數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是，實數集r與數軸上的點有著一一對應的關係。
完備性作為度量空間或一致空間，實數集合是個完備空間，它有以下性質：
一.所有實數的柯西序列都有一個實數極限。
有理數集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.
41, 1.414, 1.4142, 1.
41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。實際上，它有個實數極限 √2。
實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有「空隙」。
二.「完備的有序域」
實數集合通常被描述為「完備的有序域」，這可以幾種解釋。
首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素（對任意元素 z，z + 1 將更大）。所以，這裡的「完備」不是完備格的意思。
另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這裡的「完備」是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從（有理數）有序域出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。
這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的
概念。上述完備性中所述的只是一個特例。（這裡採用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數
的性質。）當然，r 並不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，「完備的阿基米德域」比「完備的有序域」更常見。
可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從（有理數）阿基米德域出發，通過標準的方法建立一致完備性。
「完備的阿基米德域」最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同於上述的意思。他認為，實數構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 r 的子域。這樣 r 是「完備的」是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。
這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法，即從某個包含所有（超實數）有序域的純類出發，從其子域中找出最大的阿基米德域。
高階性質
實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多於自然數的個數（儘管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數集的勢為 2ω（請參見連續統的勢），即自然數集的冪集的勢。
由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數，絕大多數實數是超越數。實數集的子集中，不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合，這就是連續統假設。該假設不能被證明是否正確，這是因為它和集合論的公理不相關。
所有非負實數的平方根屬於 r，但這對負數不成立。這表明 r 上的序是由其代數結構確定的。而且，所有奇數次多項式至少有一個根屬於 r。
這兩個性質使 r成為實封閉域的最主要的例項。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。
實數集擁有一個規範的測度，即勒貝格測度。
實數集的上確界公理用到了實數集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集：1.
löwenheim-skolem定理說明，存在一個實數集的可數稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題；2. 超實數的集合遠遠大於 r，但也同樣滿足和 r 一樣的一階邏輯命題。滿足和 r 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 r 的非標準模型。
這就是非標準分析的研究內容，在非標準模型中證明一階邏輯命題（可能比在 r 中證明要簡單一些），從而確定這些命題在 r 中也成立。
拓撲性質
實數集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集，它也具有序拓撲。
這裡，從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間（所以也是連通空間）、區域性緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。
這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽：
令 a 為一實數。a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。
r 是可分空間。
q 在 r 中處處稠密。
r的開集是開區間的聯集。
r的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。
每個r中的有界序列都有收斂子序列。
r是連通且單連通的。
r中的連通子集是線段、射線與r本身。由此性質可迅速匯出中間值定理。
6擴充套件與一般化
實數集可以在幾種不同的方面進行擴充套件和一般化：
最自然的擴充套件可能就是複數了。複數集包含了所有多項式的根。但是，複數集不是一個有序域。
實數集擴充套件的有序域是超實數的集合，包含無窮小和無窮大。它不是一個阿基米德域。
有時候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實數集，構成擴充套件的實數軸。它是一個緊緻空間，而不是一個域，但它保留了許多實數的性質。
正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念，這裡的數是指自然數（1 , 2 , 3 ...），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在「縫隙」這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊；見第一次數學危機。
從古希臘一直到十七世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作「實數」，意即「實在的數」。在當時，儘管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函式、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康託等人對實數進行了嚴格處理。[2]
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