1樓：匿名使用者
百雞問題
《張邱建算經》中，是原書卷下第38題，也是全書的最後一題：「今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？
答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：
雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母
四、值錢十二；雞鶵八十四，值錢二十八。」該問題導致三元不定方程組，其重要之處在於開創「一問多答」的先例，這是過去中國古算書中所沒有的。
秦王暗點兵問題和韓信亂點兵問題，都是後人對物不知其數問題的一種故事化。
物不知其數問題出自一千六百年前我國古代數學名著《孫子算經》。原題為："今有物不知其數，三三數之二，五五數之三，七七數之二，問物幾何？"
這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。如果三件三件地數，就會剩下兩件；如果五件五件地數，就會剩下三件；如果七件七件地數，也會剩下兩件。問：這批物品共有多少件？
變成一個純粹的數學問題就是：有一個數，用3除餘2，用5除餘3，用7除餘2。求這個數。
這個問題很簡單：用3除餘2，用7除也餘2，所以用3與7的最小公倍數21除也餘2，而用21除餘2的數我們首先就會想到23；23恰好被5除餘3，所以23就是本題的一個答案。
這個問題之所以簡單，是由於有被3除和被7除餘數相同這個特殊性。如果沒有這個特殊性，問題就不那麼簡單了，也更有趣得多。
我們換一個例子；韓信點一隊士兵的人數，三人一組餘兩人，五人一組餘三人，七人一組餘四人。問：這隊士兵至少有多少人？
這個題目是要求出一個正數，使之用3除餘2，用5除餘3，用7除餘4，而且希望所求出的數儘可能地小。
如果一位同學從來沒有接觸過這類問題，也能利用試驗加分析的辦法一步一步地增加條件推出答案。
例如我們從用3除餘2這個條件開始。滿足這個條件的數是3n+2，其中n是非負整數。
要使3n+2還能滿足用5除餘3的條件，可以把n分別用1，2，3，…代入來試。當n=1時，3n+2=5，5除以5不用餘3，不合題意；當n=2時，3n+2=8，8除以5正好餘3，可見8這個數同時滿足用3除餘2和用5除餘3這兩個條件。
最後一個條件是用7除餘4。8不滿足這個條件。我們要在8的基礎上得到一個數，使之同時滿足三個條件。
為此，我們想到，可以使新數等於8與3和5的一個倍數的和。因為8加上3與5的任何整數倍所得之和除以3仍然餘2，除以5仍然餘3。於是我們讓新數為8+ 15m，分別把m=1，2，…代進去試驗。
當試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好餘4，因而53合乎題目要求。
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《演算法統宗》（2023年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：
三人同行七十稀，
五樹梅花甘一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。
按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數可得：
70×2+21×3+15×4=263，
263=2×105+53，
所以，這隊士兵至少有53人。
在這種方法裡，我們看到：70、21、15這三個數很重要，稍加研究，可以發現它們的特點是：
70是5與7的倍數，而用3除餘1；
21是3與7的倍數，而用5除餘1；
15是3與5的倍數，而用7除餘1。
因而70×2是5與7的倍數，用3除餘2；
21×3是3與7的倍數，用5除餘3；
15×4是3與5的倍數，用7除餘4。
如果一個數除以a餘數為b，那麼給這個數加上a的一個倍數以後再除以a，餘數仍然是b。所以，把70×2、21×3與15×4都加起來所得的結果能同時滿足"用3除餘2、用5除餘3、用7除餘4"的要求。一般地，
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同時滿足"用3除餘m 、用5除餘n 、用7除餘k"的要求。除以105取餘數，是為了求合乎題意的最小正整數解。
我們已經知道了70、21、15這三個數的性質和用處，那麼，是怎麼把它們找到的呢？要是換了一個題目，三個除數不再是3、5、7，應該怎樣去求出類似的有用的數呢？
為了求出是5與7的倍數而用3除餘1的數，我們看看5與7的最小公倍數是否合乎要求。5與7的最小公倍數是5×7=35，35除以3餘2，35的2倍除以3餘2，35的2倍除以3就能餘1了，於是我們得到了"三人同行七十稀"。
為了求出是3與7的倍數而用5除餘1的數，我們看看3與7的最小公倍數是否合乎要求。3與7的最小公倍數是3×7=21，21除以5恰好餘1，於是我們得到了"五樹梅花甘一枝"。
為了求出是3與5的倍數而用7除餘1的數，我們看看3與5的最小公倍數是否合乎要求。3與5的最小公倍數是3×5=15，15除以7恰好餘1，因而我們得到了"七子團圓正半月"。
3、5、7的最小公倍數是105，所以"除百零五便得知"。
例如：試求一數，使之用4除餘3，用5除餘2，用7除餘5。
解：我們先求是5與7的倍數而用4除餘1的數；5與7的最小公倍數是5×7=35，35除以4餘3，3×3除以4餘1，因而35×3=105除以4餘1，105是5與7的倍數而用4除餘1的數。
我們再求4與7的倍數而用5除餘1的數；4與7的最小公倍數是4×7=28，28除以5餘3，3×7除以5餘1，因而28×7=196除餘5餘1，所以196是4與7的倍數而用5除餘1的數。
最後求的是4與5的倍數而用7除餘1的數：4與5的最小公倍數是4×5=20，20除以7餘6，6×6除以7餘1，因而20×6=120除以7餘1，所以120是4與5的倍數而用7除餘1的數。
利用105、196、120這三個數可以求出符合題目要求的解：
105×3+196×2+120×5=1307。
由於4、5、7的最小公倍數是4×5×7=140，1307大於140，所以1307不是合乎題目要求的最小的解。用1037除以140得到的餘數是47，47是合乎題目的最小的正整數解。
一般地，
105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
是用4除餘m,用5除餘n,用7除餘k的數(105m+196n+120k)除以140所得的餘數是滿足上面三個條件的最小的正數。
上面我們是為了寫出105m+196n+120k這個一般表示式才求出了105這個特徵數。如果只是為了解答我們這個具體的例題，由於5×7=35既是5與7的倍數除以4又餘3，就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
就是符合題意的數。
1027=7×140+47，
由此也可以得出符合題意的最小正整數解47。
《演算法統宗》中把在以3、5、7為除數"物不知其數"問題中起重要作用的70、21、15這幾個特徵數用幾句口訣表達出來了，我們也可以把在以4、5、7為除數的問題中起重要作用的105、196、120這幾個特徵數編為口訣。留給讀者自己去編吧。
凡是三個除數兩兩互質的情況，都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依據的理論，在中國稱之為孫子定理，國外的書籍稱之為中國剩餘定理
2樓：
物不知其數問題出自一千六百年前我國古代數學名著《孫子算經》。原題為："今有物不知其數，三三數之二，五五數之三，七七數之二，問物幾何？"
這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。如果三件三件地數，就會剩下兩件；如果五件五件地數，就會剩下三件；如果七件七件地數，也會剩下兩件。問：這批物品共有多少件？
變成一個純粹的數學問題就是：有一個數，用3除餘2，用5除餘3，用7除餘2。求這個數。
我國明朝數學家程大位在他著的《演算法統宗》（2023年）中就用四句很通俗的口訣
三人同行七十稀，
五樹梅花甘一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
我國古代學者莊子有一句話:"一尺之棰，日取其半，萬世不竭.''意思是說：
即使是一尺長的木棍，第一天擷取他的一半，以後每天擷取剩下部分的一半，那麼世世代代也擷取不完。請思考並完成下列各題：
1.第五天，第六天，第十天後，一尺之棰還剩多少尺？
2.第n天后，一尺之棰剩餘的長度是多少？
3.大約多少天后，一尺之棰剩餘不足百萬分之一？
古代數學趣味一題 井繩一根，三折入井底餘一尺，四折入井底差一尺。繩長几何；井深幾何？有意君留解 繩子長7尺,井深2尺
中國古代數學題 古寺幾僧? 巍峨古寺在山中，不知寺內幾多僧。 三百六十四隻碗，恰巧用盡不差爭。 三人共餐一碗飯，四人共喝一碗湯。 請問先生能算者，山中寺內幾多僧。
《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：「今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？
百雞問題
《張邱建算經》中，是原書卷下第38題，也是全書的最後一題：「今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？
答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：
雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母
四、值錢十二；雞鶵八十四，值錢二十八。」該問題導致三元不定方程組，其重要之處在於開創「一問多答」的先例，這是過去中國古算書中所沒有的。
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