1樓：馮金蘭進淑
因為9|(a^2+ab+b^2),a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),所以(a^2+ab+b^2)|(a^3-b^3),所以9|(a^3-b^3),所以有3|(a^3-b^3),注意對於3的所有模來說,有(-1)^3=(-1)
(mod
3)0^3=0(mod
3),1^3=1(mod
3),所以a與b必定關於3同餘,下面只要對三種情況檢驗即可(1)
a=b=0
(mod
3)則有9|a^2,9|b^2,9|ab,所以9|(a^2+ab+b^2)
滿足題意(2)
a=b=1
(mod
3)不妨設a=3s+1,b=3t+1,從而(a^2+b^2+ab)=9(s^2+t^2+st+s+t)+3,9不整除a^2+ab+b^2
矛盾(3)
a=b=-1
(mod
3)不妨設a=3s-1,b=3t-1,從而有(a^2+b^2+ab)=9(s^2+t^2+st-s-t)+3,同樣9不整除a^2+b^2+a
矛盾從而只能有a=b=0(mod
3)即3|a,3|b
2樓：鹹秀榮魚妍
若(a^2+b^2)/(1+ab)為整數,則它是平方數證明反證法，假設(a^2+b^2)/(1+ab)=k為整數，但k不是平方數，由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,設(a,b)是使上式成立的所有整數對中使a+b最小的，不妨設a≥b，對確定的b,k，考慮2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一個解，x是它的另一個解，由a+x=kb,ax=b^2-k可知,
x也是整數，由k不是平方數得x不等於零，如果x<0,則x≤-1，-x≥1，從而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k=
x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,這是不可能的，故x>0,於是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整數對，由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a,
b^2-k≥a^2,這與a≥b矛盾。
已知a,b為整數且9整除（a的平方+ab+b的平方）求證：3整除a，整除b
3樓：007數學象棋
如果3不整除a則，顯然3不整除b。（反之亦然）假設a=3k+s b=3m+t ｜s|=|t|=1則原式＝9k^2+9m^2+6ks+6mt+s^2+t^2 除以3餘數＝2, 與原式是9倍數矛盾
所以a ,b都是3的倍數
4樓：飄渺的綠夢
利用排除法。任何一個整數都能表示成 3k、3k＋1、3k－1 中的一種（k為整數）。
於是，當a、b不全被3整除時：
一、設a＝3m、b＝3n＋1。其中m、n都是整數。則：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋3m（3n＋1）＋9n^2＋6n＋1。
顯然，能被9整除的數一定能被3整除。
∴1也能被3整除。
這自然是錯誤的，∴a＝3m、b＝3n＋1的假設是錯誤的。
二、考慮到a、b的對稱性，顯然，a＝3m＋1、b＝3n也是錯誤的。
三、設a＝3m、b＝3n－1。其中m、n都是整數。則：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋3m（3n－1）＋9n^2－6n＋1。
顯然，能被9整除的數一定能被3整除。
∴1也能被3整除。
這自然是錯誤的，∴a＝3m、b＝3n＋1的假設是錯誤的。
四、考慮到a、b的對稱性，顯然，a＝3m－1、b＝3n也是錯誤的。
五、設a＝3m＋1、b＝3n＋1。其中m、n都是整數。則：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9mn＋9（m＋n）＋9n^2＋2。
∴2能被9整數。
這自然是錯誤的，∴a＝3m＋1、b＝3n＋1的假設是錯誤的。
六、設a＝3m＋1、b＝3n－1。其中m、n都是整數。則：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9mn＋3（m－n）＋9n^2＋1。
顯然，能被9整除的數一定能被3整除。
∴1也能被3整除。
這自然是錯誤的，∴a＝3m＋1、b＝3n－1的假設是錯誤的。
七、考慮到a、b的對稱性，顯然，a＝3m－1、b＝3n＋1也是錯誤的。
八、設a＝3m－1、b＝3n－1。其中m、n都是整數。則：
a^2＋ab＋b^2＝9m^2＋9n^2＋9mn－9（m＋n）＋3。
∴3能被9整除。
這自然是錯誤的，∴a＝3m－1、b＝3n－1的假設是錯誤的。
綜上所述，得：a、b都能被3整除。
a, b是正整數, 且a^2+b^2能被1+ab整除,
5樓：風吹落一樹葉子
若(a^2+b^2)/(1+ab)為整數,則它是平方數
證明 反證法，假設(a^2+b^2)/(1+ab)=k為整數，但k不是平方數，由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,設(a,b)是使上式成立的所有整數對中使a+b最小的，不妨設a≥b，對確定的b,k，考慮2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一個解，x是它的另一個解，由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整數，由k不是平方數得x不等於零，如果x<0,則x≤-1，-x≥1，從而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k= x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,這是不可能的，故x>0,於是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整數對，由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,這與a≥b矛盾。
a,b是正整數,證明30整除ab(a^4-b^4)
6樓：匿名使用者
首先2整除ab(a^4-b^4)，這個很明顯。
其次3整除ab(a^4-b^4)，因為如果a b 都不能被3整除，那麼a^4,b^4被3除都餘1，所以3整除(a^4-b^4)
再者5整除ab(a^4-b^4)。因為如果a b 都不能被5整除，那麼a^4,b^4被5除都餘1，所以5整除(a^4-b^4)
最後，2，3，5是兩兩互質的，所以2*3*5|ab(a^4-b^4)
7樓：匿名使用者
命題是錯的 假設a=2 b=1命題就不成立了。
8樓：匿名使用者
原式=ab(a-b)(a+b)(a^2+b^2)
由於30能分為2*3*5如果證明可以被235整除，那麼就可以被30整除
1證明被2整除：如果ab有偶數，那麼毫無疑問，如果ab都是奇數，那麼a+b就可以被2整除
2證明被3整除：如果ab有被3整除，也是毫無疑問的，如果都沒有,那麼ab必須不能被3整數餘數相同，否則a-b可以，如果餘數不同，則一定是1和2，那麼a+b可以
3證明被5整除。同樣的道理，ab不能被5除有同樣的餘數，否則a-b滿足，也不能是互補的餘數（相加為5），否則a+b滿足，所以ab被5除餘數一定是1-3，2-4，由於1*1+3*3＝10，2*2+4*4＝20都可以被5整除，所以a^2+b^2也能被5整除，所以命題得證
數學題：a,b是正整數，若(ab+1)|（a^2+b^2），證明：（a^2+b^2）/(ab+1)是完全平方數。
9樓：戈若枋
(ab+1)|（a^2+b^2） 什麼意思 能用中文解釋一下嗎
10樓：匿名使用者
若(a^2+b^2)/(1+ab)為整數,則它是平方數
證明 反證法，假設(a^2+b^2)/(1+ab)=k為整數，但k不是平方數，由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,設(a,b)是使上式成立的所有整數對中使a+b最小的，不妨設a≥b，對確定的b,k，考慮2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一個解，x是它的另一個解，由a+x=kb,ax=b^2-k可知, x也是整數，由k不是平方數得x不等於零，如果x<0,則x≤-1，-x≥1，從而有0=x^2+b^2-kxb-k≥x^2+b^2+kb-k= x^2+b^2+k(b-1)>b^2>0,這是不可能的，故x>0,於是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整數對，由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a, b^2-k≥a^2,這與a≥b矛盾。證畢。
第29屆imo第6題答案（試題為：正整a與b，使得ab+1整除a~2+b~2.求證a~2+b~2/ab+1是某個正整數的平方。
11樓：匿名使用者
首先a的平方應該是這樣寫a^2 即英文狀態下按shift+6；
題意是不是說(a^2+b^2)/(ab+1)=m，其中a,b,m為整數，求證m是某個正整數的平方？
12樓：披著野人皮的羊
高等教育出版社 出版的 數學分析教程 裡第一章第一節的課後思考題裡有,而且書最後有詳解
若a,b均為整數，求證:ab(a²+b²-2)一定能被6整除 10
13樓：匿名使用者
證明：整數a、b有四種情況：a奇b偶，b奇a偶，a奇b奇，a偶b偶。
整數ab(a²+b²-2)對a、b而言具有對稱性，所以只需討論三種情況：a奇b偶，a奇b奇，a偶b偶。
1、a奇b偶
①若a=6m+3，也即a為3的奇數倍，命題顯然成立；
②若a=6m±1，也即a為奇數且不能被3整除，令b=2n，則
ab(a²+b²-2)=(6m±1)*2n*[(6m±1)²+(2n)²-2]=(6m±1)*2n*(36m²±12m+1+4n²-2)
=(6m±1)*2n*[(36m²±12m+3n²)+(n²-1)]
如果n²-1能被3整除，命題顯然成立；
如果n²-1不能被3整除，則n必能被3整除，否則：n=3r±1,r為整數，此時n²-1=9r²±6r+1-1=9r²±6r能被3整除。由於n能被3整除，ab(a²+b²-2)有因子2n，故必能被6整除。
綜上，a奇b偶時，ab(a²+b²-2)能被6整除。
2、a奇b奇
此時a²+b²-2必能被2整除。只需考察ab(a²+b²-2)是否能被3整除即可。
①如果a或b中有一個是3的奇數倍，命題自然成立；
②如果a和b都是奇數且不能被3整除，則必有：
a=6m±1,b=6n±1
於是a²+b²-2=(6m±1)²+(6n±1)²-2=6m²±12m+6n²±12n
必能被3整除。（也能被6整除！）
綜上，a奇b奇時，ab(a²+b²-2)能被6整除。
3、a偶b偶
此時ab必能被2整除，只需考察ab(a²+b²-2)是否能被3整除即可。
①若a或b中有一個是3的偶數倍，命題自然成立；
②如果a和b都是偶數且不能被3整除，則必有：
a=6m±2,b=6n±2
於是a²+b²-2=(6m±2)²+(6n±2)²-2=6m²±24m+6n²±24n+6
必能被3整除。（也能被6整除！）
綜上，a偶b偶時，ab(a²+b²-2)能被6整除。
所以，無論a、b取何值（整數），ab(a²+b²-2)一定能被6整除。
證明 如果7整除 a 2 b 2 ，那麼7整除a而且7整除b
由條件ab2 b 7整除a2b a b，顯然ab2 b 7 a2b2 ab b2，而a2b2 ab b2 a ab2 b 7 b2 7a，故ab2 b 7 b2 7a，下面分三種情況討論 情形一 b2 7a 0 這時b2 7a b2 ab2 b 7，矛盾 情形二 b2 7a，此時a，b應具有a 7k...
已知a b 7,ab 12,求a 2 b 2和a b的值a 2b 2 a 2 b 2 1 4ab，求a b的值下面還有題目，做出來的給分
1.a b 7,ab 12,求a 2 b 2和a b的值 a 2 b 2 a b 2 2ab 49 24 25 a b 2 a b 2 4ab 49 48 1 a b 1或a b 1 2.a 2b 2 a 2 b 2 1 4ab，求a b整理a 2b 2 2ab 1 a 2 2ab b 2 0 ab...
a 2 b 2大於等於2ab怎麼得來的
證明方法 利用完全平方式可以證明 完全平方式可表示為 a b a 2ab b a b a 2ab b 因為 a b 0，任何數的平方都是大於等於0的，所以 a b 2ab 0，所以 a b 2ab。擴充套件資料 完全平方式的性質和判定 在實數範圍內如果 ax2 bx c a 0 是完全平方式，則b2...