1樓:浩愛莉莉哈
高等數學 第六版 上冊 同濟大學數學系 編 32頁,第6行:
如果在x->x0的過程中,對應的函式值
回f(x)無限接近答於確定的數值a,那麼就說a是函式f(x)當x->x0時的極限。
極限是一個確定的數值,而極限的確定是一個逐漸趨近的過程。
2樓:深雪一枝
過程量,是趨向於某個值
數學中的「極限」是什麼意思?這是一個名詞還是動詞?是指一個變化過程嗎?
3樓:匿名使用者
極限是一個名詞,描述一種狀態。
比如說極限值是1,就表示這個結果的狀態是無限接近於1,但卻不等於1。
數學上的極限 是什麼意思?
4樓:縱橫豎屏
數學中的「極限」指:某一個函式中的某一個變數,此變數在變大(或者變小)的永遠變化的過程中,逐漸向某一個確定的數值a不斷地逼近而「永遠不能夠重合到a」(「永遠不能夠等於a,但是取等於a『已經足夠取得高精度計算結果)的過程中。
此變數的變化,被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近a點的趨勢」。極限是一種「變化狀態」的描述。此變數永遠趨近的值a叫做「極限值」(當然也可以用其他符號表示)。
以上是屬於「極限」內涵通俗的描述,「極限」的嚴格概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。
5樓:匿名使用者
極限 在高等數學中,極限是一個重要的概念。
極限可分為數列極限和函式極限,分別定義如下。
首先介紹劉徽的"割圓術",設有一半徑為1的圓,在只知道直邊形的面積計算方法的情況下,要計算其面積。為此,他先作圓的內接正六邊形,其面積記為a1,再作內接正十二邊形,其面積記為a2,內接二十四邊形的面積記為a3,如此將邊數加倍,當n無限增大時,an無限接近於圓面積,他計算到3072=6*2的9次方邊形,利用不等式an+1n時,不等式
|xn - a|<ε
都成立,那麼就成常數a是數列|xn|的極限,或稱數列|xn|收斂於a。記為lim xn = a 或xn→a(n→∞)
數列極限的性質:
1.唯一性:若數列的極限存在,則極限值是唯一的;
2.改變數列的有限項,不改變數列的極限。
幾個常用數列的極限:
an=c 常數列 極限為c
an=1/n 極限為0
an=x^n 絕對值x小於1 極限為0
函式極限的專業定義:
設函式f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義,如果存在常數a,對於任意給定的正數ε(無論它多麼小),總存在正數δ ,使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時,對應的函式值f(x)都滿足不等式:
|f(x)-a|<ε
那麼常數a就叫做函式f(x)當x→x。時的極限。
函式極限的通俗定義:
1、設函式y=f(x)在(a,+∞)內有定義,如果當x→+∽時,函式f(x)無限接近一個確定的常數a,則稱a為當x趨於+∞時函式f(x)的極限。記作lim f(x)=a ,x→+∞。
2、設函式y=f(x)在點a左右近旁都有定義,當x無限趨近a時(記作x→a),函式值無限接近一個確定的常數a,則稱a為當x無限趨近a時函式f(x)的極限。記作lim f(x)=a ,x→a。
函式的左右極限:
1:如果當x從點x=x0的左側(即x〈x0)無限趨近於x0時,函式f(x)無限趨近於常數a,就說a是函式f(x)在點x0處的左極限,記作x→x0-limf(x)=a.
2:如果當x從點x=x0右側(即x>x0)無限趨近於點x0時,函式f(x)無限趨近於常數a,就說a是函式f(x)在點x0處的右極限,記作x→x0+limf(x)=a.
注:若一個函式在x(0)上的左右極限不同則此函式在x(0)上不存在極限
函式極限的性質:
極限的運演算法則(或稱有關公式):
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等於0 )
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在時才成立
lim(1+1/x)^x =e
x→∞無窮大與無窮小:
一個數列(極限)無限趨近於0,它就是一個無窮小數列(極限)。
無窮大數列和無窮小數列成倒數。
兩個重要極限:
1、lim sin(x)/x =1 ,x→0
2、lim (1 + 1/x)^x =e ,x→∞ (e≈2.7182818...,無理數)
舉兩個例子說明一下
一、0.999999......=1?
(以下一段不作證明,只助理解——原因:小數的加法的第一步就是對齊數位,即要知道具體哪一位加哪一位才可操作,下文中0.33333......的加法使用小數點與小數點對齊並不可以保證以上標準,所以對於無限小數並不能做加法。
既然不可做加法,就無乘法可言了。)
誰都知道1/3=0.333333......,而兩邊同時乘以3就得到1=0.999999......,可就是看著彆扭,因為左邊是一個「有限」的數,右邊是「無限」的數。
10×0.999999...... —1×0.999999......=9=9×0.999999......
∴0.999999......=1
二、「無理數」算是什麼數?
我們知道,形如根號2這樣的數是不可能表示為兩個整數比值的樣子的,它的每一位都只有在不停計算之後才能確定,且無窮無盡,這種沒完沒了的數,大大違揹人們的思維習慣。
結合上面的一些困難,人們迫切需要一種思想方法,來界定和研究這種「沒完沒了」的數,這就產生了數列極限的思想。
類似的根源還在物理中(實際上,從科學發展的歷程來看,哲學才是真正的發展動力,但物理起到了無比推動作用),比如瞬時速度的問題。我們知道速度可以用位移差與時間差的比值表示,若時間差趨於零,則此比值就是某時刻的瞬時速度,這就產生了一個問題:趨於無限小的時間差與位移差求比值,就是0÷0,這有意義嗎(這個意義是指「分析」意義,因為幾何意義頗為直觀,就是該點切線斜率)?
這也迫使人們去為此開發出合乎理性的解釋,極限的思想呼之欲出。
真正現代意義上的極限定義,一般認為是由魏爾斯特拉斯給出的,他當時是一位中學數學教師,這對我們今天中學教師界而言,不能不說是意味深長的。
幾個常用數列的極限
an=c 常數列 極限為c
an=1/n 極限為0
an=x^n 絕對值x小於1 極限為0
[編輯本段]關於家教.
極限....彭格列家族晴之守護者笹川了平的口頭禪.一個時時刻刻都很極限的男人.
6樓:
無限靠近但又不等於,假如有個間距的話,這個值是無窮小的
7樓:水銀衝擊波
設函式y=f(x)在點a左右近旁都有定義,當x無限趨近a時(記作x→a),函式值無限接近一個確定的常數a,則稱a為當x無限趨近a時函式f(x)的極限。記作lim f(x)=a ,x→a
請問極限的概念是什麼?
8樓:匿名使用者
極限的定義分為四個部分:
1、對任意的ε>0:ε在定義中的作用就是刻畫出在x→x0時,f(x)可以無限接近於常數a,也就是∣f(x)-a∣可以任意小。為了達到這一要求,所以ε必須可以足夠小。
(考試中經常在ε上做文章)
2、存在δ>0:δ就是這個鄰域的半徑,x→x0所能取到的所有點就是(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),這裡x取不到x0.但是這個鄰域δ到底有多大、距離x0有多遠,我們不知道,也沒有必要知道,只要知道δ是很小的一個數就可以啦。
3、0<∣x-x0∣<δ:自變數x→x0時,再次強調一下,x取不到x0這個點,但是可以取到x0附近和兩側的所有點。這就涉及到鄰域的概念,鄰域通俗講就是以點x0為中心的附近和兩側所有點,是一個區域性概念。
4、∣f(x)-a∣<ε:既然ε可以足夠小,則f(x)可以無限接近於常數a,也就是f(x)→a,這裡需要注意一點,雖然自變數x不能取到x0這個點,但是因變數f(x)是可以取到a的。
特別注意:函式在一點的極限存不存在和函式在這個點有沒有定義沒有關係。
擴充套件資料
極限的性質:
1、唯一性:存在即唯一
關於唯一性,需要明確x趨向於無窮,意味著x趨向於正無窮並且x趨向於負無窮;同理,x→xo,意味著x趨向於xo正且趨向於x0負。
比如:x趨向於無窮的時候,e^x的極限就不存在,因為x趨向於正無窮的時候e^x是無窮,x趨向於負無窮的時候e^x是0,根據極限存在的唯一性,所以這個極限不存在。
2、區域性有界性:存在必有界
極限存在只是函式有界的充分條件,而非必要條件,即函式有界但函式極限不一定存在。
判別有界性的方法
(1)理論法:函式在閉區間上連續,則函式必有界。
(2)計演算法:函式在開區間上連續且左右極限都存在,則函式有界。
(3)四則運演算法:有限個有界函式的和、差、積必有界。
3、區域性保號性:保持不等號的方向不變
極限大於零則在x→x0中函式大於零,把極限符號可以直接去掉,俗稱「脫帽法」。函式非負,則在極限存在的條件下,極限非負。這個結論成立的前提條件一定不能忘,一定要驗證一下函式極限是否存在。
9樓:閃亮登場
極限在高等數學中,極限是一個重要的概念。
極限可分為數列極限和函式極限,分別定義如下。
首先介紹劉徽的"割圓術",設有一半徑為1的圓,在只知道直邊形的面積計算方法的情況下,要計算其面積。為此,他先作圓的內接正六邊形,其面積記為a1,再作內接正十二邊形,其面積記為a2,內接二十四邊形的面積記為a3,如此將邊數加倍,當n無限增大時,an無限接近於圓面積,他計算到3072=6*2的9次方邊形,利用不等式an+1n時,不等式
|xn - a|<ε
都成立,那麼就成常數a是數列|xn|的極限,或稱數列|xn|收斂於a。記為lim xn = a 或xn→a(n→∞)
數列極限的性質:
1.唯一性:若數列的極限存在,則極限值是唯一的;
2.改變數列的有限項,不改變數列的極限。
幾個常用數列的極限:
an=c 常數列 極限為c
an=1/n 極限為0
an=x^n 絕對值x小於1 極限為0
函式極限的專業定義:
設函式f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義,如果存在常數a,對於任意給定的正數ε(無論它多麼小),總存在正數δ ,使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時,對應的函式值f(x)都滿足不等式:
|f(x)-a|<ε
那麼常數a就叫做函式f(x)當x→x。時的極限。
函式極限的通俗定義:
1、設函式y=f(x)在(a,+∞)內有定義,如果當x→+∽時,函式f(x)無限接近一個確定的常數a,則稱a為當x趨於+∞時函式f(x)的極限。記作lim f(x)=a ,x→+∞。
2、設函式y=f(x)在點a左右近旁都有定義,當x無限趨近a時(記作x→a),函式值無限接近一個確定的常數a,則稱a為當x無限趨近a時函式f(x)的極限。記作lim f(x)=a ,x→a。
函式的左右極限:
1:如果當x從點x=x0的左側(即x〈x0)無限趨近於x0時,函式f(x)無限趨近於常數a,就說a是函式f(x)在點x0處的左極限,記作x→x0-limf(x)=a.
2:如果當x從點x=x0右側(即x>x0)無限趨近於點x0時,函式f(x)無限趨近於常數a,就說a是函式f(x)在點x0處的右極限,記作x→x0+limf(x)=a.
注:若一個函式在x(0)上的左右極限不同則此函式在x(0)上不存在極限
函式極限的性質:
極限的運演算法則(或稱有關公式):
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等於0 )
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在時才成立
lim(1+1/x)^x =e
x→∞無窮大與無窮小:
一個數列(極限)無限趨近於0,它就是一個無窮小數列(極限)。
無窮大數列和無窮小數列成倒數。
兩個重要極限:
1、lim sin(x)/x =1 ,x→0
2、lim (1 + 1/x)^x =e ,x→∞ (e≈2.7182818...,無理數)
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