1樓：匿名使用者
^直白的說：
向量的一種範數就理解成在某種度量下的長度，比如歐式空間，二範數：||x||_2=sqrt(sum(x_i^2))。
矩陣範數，通常是把矩陣拉長成一列，做向量範數。e.g 矩陣的f範數就是拉成向量之後的二範數。
運算元範數，運算元a(有窮維中的矩陣a), 作用在向量x上（乘法），||a||:=max(||ax||), s.t. ||x||=1.
至於作用，就是方便給一個抽象的空間（比如連續函式空間，函式就是一個「點」）引入極限、收斂等分析的性質，像矩陣核範數在矩陣***pressed sensing裡就挺重要~
矩陣範數與運算元範數有什麼區別？
2樓：匿名使用者
一、囊括範圍不同
1、矩陣範數：將一定的矩陣空間建立為賦範向量空間時為矩陣裝備的範數。
2、運算元範數：運算元範數(operate norm)是矩陣範數的一種。
二、應用形式表達不同
1、矩陣範數：應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現，這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。
2、運算元範數：運算元範數是矩陣範數的一種，設向量x是一個n維向量，a是一個n*n的矩陣，則a的運算元範數為max(ax/x)，運算元範數也稱從屬範數，其中x≠0。
3樓：電燈劍客
對於矩陣而言，矩陣範數真包含運算元範數，也就是說任何一種運算元範數一定是矩陣範數，但是某些矩陣範數不能作為運算元範數（比如frobenius範數）。
矩陣的f-範數 的作用？
4樓：demon陌
作用：f範數是把一個矩陣中每個元素的平方求和後開根號。
應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現，這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。
矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。
如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣(或複方陣)全體上的任何一個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。
5樓：我真不是玉兔
有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的frobenius範數(也叫euclid範數，簡稱f-範數或者
e-範數)：║a║f= ( ∑∑ aij^2 )^1/2
(a全部元素平方和的平方根)。容易驗證f-範數是相容的，但當min>1時f-範數不能由向量範數誘導
(||e11+e22||f=2>1)。可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義 ║x║=║x║，其中x=[x,x,…,x]是
由x作為列的矩陣。由於向量的f-範數就是2-範數，所以f-範數和向量的2-範數相容。
另外還有以下結論： ║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f <= ║a║2 ║b║f
這個要具體情況具體分析
6樓：匿名使用者
同求作用啊 誰給講講啊
f範數是把一個矩陣中每個元素的平方求和後開根號，具體作用也不清楚啊
什麼是矩陣的範數
7樓：小慎
在介紹主題之前，先來談一個非常重要的數學思維方法：幾何方法
。在大學之前，我們學習過一次函式、二次函式、三角函式、指數函式、對數函式等，方程則是求函式的零點；到了大學，我們學微積分、複變函式、實變函式、泛函等。我們一直都在學習和研究各種函式及其性質，
函式是數學一條重要線索，另一條重要線索——幾何
，在函式的研究中發揮著不可替代的作用，幾何是函式形象表達，函式是幾何抽象描述，幾何研究「形」，函式研究「數」，它們交織在一起推動數學向更深更抽象的方向發展。
函式圖象聯絡了函式和幾何，表達兩個數之間的變化關係，
對映推廣了函式的概念，使得自變數不再僅僅侷限於一個數，也不再侷限於一維，任何事物都可以拿來作對映，維數可以是任意維，傳統的函式圖象已無法直觀地表達高維物件之間的對映關係，這就要求我們在觀念中，把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。
由於對映的物件可以是任何事物
，為了便於研究對映的性質以及數學表達，我們首先需要對對映的物件進行「量化」，取定一組「基」，確定事物在這組基下的座標，事物同構於我們所熟悉的抽象幾何空間中的點，事物的對映可以理解為從一個空間中的點到另一個空間的點的對映，而對映本身也是事物，自然也可以抽象為對映空間中的一個點，這就是泛函中需要研究的物件——函式。
從一個線性空間到另一個線性空間的線性對映，可以用一個矩陣來表達，矩陣被看線性作對映，線性對映的性質可以通過研究矩陣的性質來獲得，比如矩陣的秩反映了線性對映值域空間的維數，
矩陣範數反映了線性對映把一個向量對映為另一個向量，向量的「長度」縮放的比例。
範數是把一個事物對映到非負實數，且滿足非負性、齊次性、三角不等式，符合以上定義的都可以稱之為範數，所以，範數的具體形式有很多種（由內積定義可以匯出範數，範數還也可以有其他定義，或其他方式匯出），要理解矩陣的運算元範數，首先要理解向量範數的內涵。矩陣的運算元範數，是由向量範數匯出的，由形式可以知：
由矩陣運算元範數的定義形式可知，矩陣a把向量x對映成向量ax
，取其在向量x範數為1所構成的閉集下的向量ax範數最大值作為矩陣a的範數，即矩陣對向量縮放的比例的上界，矩陣的運算元範數是相容的。由幾何意義可知，矩陣的運算元範數必然大於等於矩陣譜半徑（最大特徵值的絕對值），矩陣運算元範數對應一個取到向量ax範數最大時的向量x方向，譜半徑對應最大特徵值下的特徵向量的方向。而矩陣的奇異值分解svd
，分解成左右各一個酉陣，和擬對角矩陣，可以理解為對向量先作旋轉、再縮放、最後再旋轉，奇異值，就是縮放的比例，最大奇異值就是譜半徑的推廣，所以，矩陣運算元範數大於等於矩陣的最大奇異值，酉陣在此運算元範數的意義下，範數大於等於1
。此外，不同的矩陣範數是等價的。
範數理論是矩陣分析的基礎，度量向量之間的距離、求極限等都會用到範數，範數還在機器學習、模式識別領域有著廣泛的應用。
8樓：匿名使用者
最通俗易懂的解釋是 矩陣的模 （就是所謂的絕對值）
矩陣範數的定義
9樓：中地數媒
1.第一種定義———p範數
設｛x：‖x‖p＝1｝，則對於給定的n階矩陣a存在相應的向量集合｛ax：‖x‖p＝1｝，定義
地球物理資料處理基礎
為從屬於某種向量範數的矩陣範數，簡稱從屬範數。因為是通過向量p範數定義的矩陣範數，也稱p範數或運算元範數。
由定義可知，‖x‖p的含義是向量集合｛ax：‖x‖p＝1｝中各向量都有一個對應的範數，其中最大的就是‖x‖p。可見，這是具體的定義方法，其優點可以把矩陣範數與向量範數用一個公式聯絡起來，使兩者相容。
由於單位矩陣 ‖x‖p＝1，所以‖i‖p＝1是從屬範數的一個特徵。
矩陣範數有分別從屬於‖x‖1，‖x‖2和‖x‖∞的三種具體形式。
地球物理資料處理基礎
稱為列和範數（矩陣各列向量的「和範數」中最大者）。
地球物理資料處理基礎
稱為a的2－範數。式中ata稱為格蘭姆矩陣，λ1（ata）表示ata的最大特徵值。因為λ1（ata）就是ata的譜半徑，又稱‖a‖2是a的譜範數。
地球物理資料處理基礎
稱為行和範數（矩陣各行向量「和範數」中的最大者）。
2.第二種定義———f範數
定義：地球物理資料處理基礎
為a的f範數（frobenius），這是將向量2－範數概念直接推廣到rn×n空間中的範數，也可以把這種範數記為‖a‖e，稱為歐氏範數。
注意f範數不從屬於任何一種向量範數，它與‖x‖2相容，但並不從屬於‖x‖2。這時，單位陣i的任一種從屬範數
矩陣的範數怎麼求
10樓：小不懂餓
一般來講矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。
如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣（或複方陣）全體上的任何一個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。
注：如果不考慮相容性，那麼矩陣範數和向量範數就沒有區別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性運算元的特徵，這一點和運算元範數的相容性一致，並且可以得到mincowski定理以外的資訊。
什麼是範數？向量的範數公式是什麼？
11樓：匿名使用者
向量範數
定義1. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱**中定義了向量範數,║x║為向量x的範數.
可見向量範數是向量的一種具有特殊性質的實值函式.
常用向量範數有,令x=( x1,x2,…,xn)t
1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.**中任意兩種向量範數║x║α,║x║β是等價的,即有m,m>0使
m║x║α≤║x║β≤m║x║
可根據範數的連續性來證明它.由定理1可得
定理2.設是**中向量序列,x是**中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .
三、 矩陣範數
定義2. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
4. 相容性: ║xy║≤║x║║y║
則稱**×n中定義了矩陣範數,║x║為矩陣x的範數.
注意, 矩陣x可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關係而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣範數向量範數的相容性:
║ax║≤║a║║x║
所謂由向量範數誘匯出的矩陣範數與該向量範數就是相容的.
定理3. 設a是n×n矩陣,║?║是n維向量範數則
║a║=max= max
是一種矩陣範數,稱為由該向量範數誘匯出的矩陣範數或運算元範數,它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的運算元範數為1
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數.例如定義:
║x║=║x║,x=(xx…x)
常用的三種向量範數誘匯出的矩陣範數是
1-範數:║a║1= max=
2-範數:║a║2=max= ,λ1是aha的
最大特徵值.
∞-範數:║a║∞=max=
此外還有frobenius範數: .它與向量2-範數相容.但非向量範數誘匯出的矩陣範數.
四、 矩陣譜半徑
定義3.設a是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱
為a的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函式,但非矩陣範數.對任一矩陣範數有如下關係:
ρ(a)≤║a║
因為任一特徵對λ,x,ax=λx,令x=(xx…x),可得ax=λx.兩邊取範數,由矩陣範數的
相容性和齊次性就匯出結果.
定理3.矩陣序列i,a,a2,…ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(a)
內積與矩陣範數，什麼是矩陣的範數
內容來自使用者 greathellok 範數 用於度量 量 大小的概念 1.引言 實數的絕對值 是數軸上的點到原點的距離 複數的模 是平面上的點到原點的距離 還有其他刻畫複數大小的方法 準則 如 1 2 2.向量的範數 p 範數 1 示例 3.矩陣 運算元 的範數 2 矩陣的譜半徑 設是階矩陣，稱 ...
如何求矩陣的一範數一範數和二範數有啥區別
一 求法 1 範數 a 1 max 列和範數，a每一列元素絕對值之和的最大值 其中 ai1 第一列元素絕對值的和 ai1 a11 a21 an1 其餘方法相同 2 範數 a 2 a的最大奇異值 max 其中a h為a的轉置共軛矩陣 二 區別 1 意義不同 1 範數是指向量 矩陣 裡面非零元素的個數，...
向量的二範數等於1說明什麼,一個向量的2範數等於1是什麼意思
1 範數 是指向量 矩陣 裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間 內的沿方格邊緣的距離。容x 1 sum abs xi 2 範數 或euclid範數 是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 無需只沿方格邊緣 一個向量的2範數等於1是什麼意思 1 範數 是來指向量 矩 源...