1樓：匿名使用者
方法一：如圖所示，建立空間直角座標系，點b為座標原點．
依題意得 a(22，0，0)，b(0，0，0)，c(2，-2，5)a1(22，22，0)，b1(0，22，0)，c1(2，2，5)
（i）解：易得 ac→=(-2，-2，5)，a1b1→=(-22，0，0)，
於是
所以異面直線ac與a1b1所成角的餘弦值為 23．
（ii）解：易知 aa1→=(0，22，0)，a1c1→=(-2，-2，5)．
設平面aa1c1的法向量 m→=（x，y，z），
則 {m→•a1c1→=0m→•aa1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5，可得 m→=(5，0，2)，
同樣地，設平面a1b1c1的法向量 n→=（x，y，z），
則 {n→•a1c1→=0n→•a1b1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5，
可得 n=(0，5，2)．
於是 cos＜m→，n→＞=m→•n→|m→||n→|=27•7=27，
從而 sin＜m→，n→＞=357．
所以二面角a-a1c1-b的正弦值為 357．
（iii）解：由n為稜b1c1的中點，
得 n(22，322，52)．設m（a，b，0），
則 mn→=(22-a，322-b，52)
由mn⊥平面a1b1c1，得 {mn→•a1b1→=0mn→•a1b1→=0
即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 m(22，24，0)．
因此 bm→=(22，24，0)，所以線段bm的長為 |bm→|=104．
方法二：
（i）解：由於ac∥a1c1，故∠c1a1b1是異面直線ac與a1b1所成的角．
因為c1h⊥平面aa1b1b，又h為正方形aa1b1b的中心， aa1=22，c1h=5，
可得a1c1=b1c1=3．
因此 cos∠c1a1b1=a1c12+a1b12-b1c122a1c1•a1b1=23．
所以異面直線ac與a1b1所成角的餘弦值為 23．
（ii）解：連線ac1，易知ac1=b1c1，
又由於aa1=b1a1，a1c1=a1=c1，
所以△ac1a1≌△b1c1a，過點a作ar⊥a1c1於點r，
連線b1r，於是b1r⊥a1c1，故∠arb1為二面角a-a1c1-b1的平面角．
在rt△a1rb1中， b1r=a1b1•sin∠ra1b1=22•1-(23)2=2143．
連線ab1，在△arb1中， ab1=4，ar=b1r，cos∠arb1=ar2+b1r2-ab122ar•b1r= -27，
從而 sin∠arb1=357．
所以二面角a-a1c1-b1的正弦值為 357．
（iii）解：因為mn⊥平面a1b1c1，所以mn⊥a1b1．
取hb1中點d，連線nd，由於n是稜b1c1中點，
所以nd∥c1h且 nd=12c1h=52．
又c1h⊥平面aa1b1b，
所以nd⊥平面aa1b1b，故nd⊥a1b1．
又mn∩nd=n，
所以a1b1⊥平面mnd，連線md並延長交a1b1於點e，
則me⊥a1b1，故me∥aa1．
由 deaa1=b1eb1a1=b1db1a=14，
得 de=b1e=22，延長em交ab於點f，
可得 bf=b1e=22．連線ne．
在rt△enm中，nd⊥me，故nd2=de•dm．
所以 dm=nd2de=524．
可得 fm=24．
連線bm，在rt△bfm中， bm=fm2+bf2=104．
2樓：匿名使用者
建系，用法向量最簡單。 找出平面內的兩條相交直線座標，設一個法向量(x,y,z)，讓它垂直那倆邊（數量積=0）隨便給一個x求出yz。 找出兩個面的法
求二面角的方法(越詳細越好)
3樓：醉在君王懷
在使用法向量求二面角時，一般是題中所求的兩個面的角不好找或者很難求解出該角的值。
而法向量其實也是向量的一種，它無需準確地找到其起始點和終點就可以根據向量的乘積的形式計算出兩個向量的夾角。
一個面的法向量就是這個面垂直的方向向量，一個面的法向量並不唯一，但是它的方向都是唯一的，不同的是模的大小。
所以運用法向量來求解兩個面的夾角就省去了很多不必要的條件，容易算出結果，帶來了方便。
所以面對難以找到二面角的兩個面或者是難以求出二面角的值時就可以使用法向量求解二面角。題型
圖一圖一中的第二問就是求二面角的題，而對於這個題中要求解的二面角就很難找到該二面角的位置，即使找到了也很難求解出來，這時我們就可以使用法向量的方法求解出來。
題型思路
要想找到一個面的法向量，就要先求出這個面內兩條直線的向量且這兩條直線是相交的；
要求出一個面內兩條相交直線的向量，就要建立直角座標系。對於立體幾個來說就要建立空間直角座標系；
要想建立空間直角座標系，就要找到三條直線相互垂直的交點；
通過第一問的證明，ae、ef、eb就是三條相互垂直的直線，e就應該是空間直角座標系的原點座標。
具體的做法
（ⅰ）第一問只需要證明ae垂直面ebcf，ae在面aefd內即可。
因為ab⊥bc，ad∥bc，e，f又是ab，dc的中點，所以ab⊥ad，ab⊥ef；
又因為ae⊥cf；
又因為cf和ef是相交直線；
所以有ae⊥面ebcf；
ae在面aefd內，所以有面aefd⊥面ebcf。
（ⅱ）第二問運用法向量來求解二面角f-cd-a的大小。
①建立直角座標系。
做dg∥ae交ef於g點，連線bg。圖二
注意：這裡e點是空間直角座標系的原點，相當於原點o。
②求出相關的座標值。
因為bd⊥ec；
又因為ae⊥面ebcf，ae∥dg，所以dg⊥面ebcf，所以dg⊥ec；
所以ec⊥面bdg，所以ec⊥bg；
因為∠ebg+∠gbc=90°=∠ecb∠+∠gbc，所以∠ebg=∠ecb；
因為∠beg=90°，∠cbe=90°，所以∠beg=∠cbe；
所以△beg∽△cbe；圖三
所以eg/eb=be/bc，解得eb=2√2；
根據題中的已知不難得到各個點的座標，即：
b(2√2,0,0)，a(0,0,2√2)，d(0,
4樓：魏
平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的稜，每個半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。
以二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。
0≤θ≤π（不小於0°，不大於180°）
（注：既然二面角是空間立體圖形，那麼我們可以將180°～360°的另一邊看成0°～180°）
作二面角的平面角的常用方法有六種：
1、定義法 ：在稜上取一點a，然後在兩個平面內分別作過稜上a點的垂線。有時也可以在兩個平面 內分別作稜的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。
2、垂面法 ：作與稜垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角
3、面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=s'/s（s'為射影面積，s為斜面面積）。
運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。
4、三垂線定理及其逆定理法：先找到一個平面的垂線，再過垂足作稜的垂線，連結兩個垂足即得二面角的平面角。
5、向量法：分別作出兩個半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。
6、轉化法：在二面角α-l-β其中一個半平面α上找一點p，求出p到β的距離h和p到l的距離d，那麼arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。
9、異面直線的距離法：設二面角為c-ab-d，其中ac和bd互為異面直線且ac⊥ab，bd⊥ab（即ab是異面直線ac和bd的公垂線）。設ab=d，cd=l，ac=m，bd=n，根據
來求異面直線所成角θ。利用該方法求θ必須先由影象判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那麼取正號；鈍角，那麼取負號。
待求出θ以後，如果二面角是銳角，那麼二面角的大小就是θ；鈍角，那麼二面角的大小就是π-θ。
其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。
二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。
幾何法（1）作出二面角的平面角
a：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；
b：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；
c：利用與稜垂直的直線，通過作稜的垂面作平面角；
d：利用無稜二面角的兩條平行線作平面角。
（2）證明該角為平面角
（3）歸納到三角形求角
5樓：湯果
求兩面角，最關鍵的是找到兩面角的平面角
這個兩面角的平面角最關鍵的一點就是該角的兩條邊都必須垂直於兩個面的交線
找兩面角的平面常用的方法有一般有兩種
平面α與平面β，交線l，空間中一點p
1）p在平面α內，但不在交線l上
過p做平面β的垂線，垂足為h，過h作l的垂線，垂足為a，連線ap，角pah即為二面角的平面角
2）p在交線l上
過p在平面α、β內分別作垂直於l的射線pa、pb，角apb即為二面角的平面角
3）p在兩平面外
過p做平面β的垂線，垂足為h，過h作l的垂線，垂足為a，過a在平面α內作l的垂線ab，則角bah即為二面角的平面角
總而言之關鍵就是該角的兩條邊都必須垂直於兩個面的交線，還有要注意二面角可以是鈍角，看具體情況。
如果確切的告訴你a-l-b這種樣子的，就算夾角
但是隻問你平面與平面的時候就可能有兩解
求二面角的方法越詳細越好
在使用法向量求二面角時，一般是題中所求的兩個面的角不好找或者很難求解出該角的值。而法向量其實也是向量的一種，它無需準確地找到其起始點和終點就可以根據向量的乘積的形式計算出兩個向量的夾角。一個面的法向量就是這個面垂直的方向向量，一個面的法向量並不唯一，但是它的方向都是唯一的，不同的是模的大小。所以運用...
求二面角時怎麼判斷法向量指向平面內還是平面外
沒必要判斷 夾角是根據你實際的圖來看,如果看出來是銳角,就取正,鈍角就取負,就這麼簡單 而且,一個面的法向量有無數條,面內面外誰也說不清 求二面角時怎麼判斷法向量指向平面內還是平面外 先從圖上判斷指向 或指出 半平面的大概方向 上下 左右或前後 然後根據法向量對應座標的正負判斷 沒必要判斷 夾角是根...
二面角的餘弦值可以求出這兩個平面的法向量然後代入公式計算
法向量的夾角是平面角,因為就是兩條有向線段所成的角.求二面角的餘弦值已經求出他們兩個面的法向量那麼他們法向量之比就是餘弦值嗎？不考慮正負 二面角餘弦值為法向量的數量積與法向量模的乘積之比。這個不一定的,如果你直觀上看去,一個二面角是個鈍角,但是它的兩個面的法向量所成角的餘弦值大於零,也不是不可能的啊...