1樓：電燈劍客
針對樓主的情況我再補充兩句。
譜分解定理是對稱矩陣最深刻的定理，凡是碰到對稱矩陣的問題（不論是否正定）都要想到有譜分解這個工具。
這裡對b做譜分解b=qdq'後代入原方程就得到aqdq'+qdq'a=c
再變換成
(q'aq)d+d(q'aq)=q'cq
再看對角線就行了。一樓的做法本質就是這樣。
另外，題目裡ax+xa=c存在唯一解是多餘的條件，根據a和c的正定性要會自己證明。
2樓：匿名使用者
設b任意一特徵值λ，特徵向量b
有bb=λb，b'b'=λb'
c正定 則b'cb>0
b'abb+b'bab>0
b'a(bb)+(bb)'ab>0
2λb'ab>0
λ>0證畢
3樓：不想註冊a度娘
要充分運用解唯一的性質.由於兩問有承接性,我都給你證明下:
第一問:ax+xa=c兩邊做轉置,由a和c對稱,可見ax'+x'a=c.這說明x'也為方程的解,又解唯一為b,可見x=x',即b=b'.(能做出這個說明有一定線代基礎)
第二問:
預備知識,a,c正定則可同時合同為對角形:存在可逆矩陣p,使得p'ap=i,p'cp=diag.(其中i為單位陣,diag為對角陣對角線上為正值)
預備知識的證明:a正定 存在可逆陣s,s'as=i.此時s'cs合同於c且正定.
s'cs正定,存在正交矩陣ω,使得ω's'csω為對角形對角線上為正值(由s'cs正定知),此時ω's'asω=ω'iω=i,記p=sω預備知識得證.
[此一段可以忽略不看,只記結論]
存在可逆矩陣p,使得p'ap=i,p'cp=diag.(其中i為單位陣,diag為對角陣對角線上為正值)
,a,c正定則好了,有了預備知識,我們來證b正定.
將ax+xa=c左乘p'右乘p,不改變解的唯一性(由p可逆知是等價方程,唯一性不變).此時新方程可化為
(p逆)'xp+(p逆xp)'=diag
記y=(p逆)'xp,上式化為y+y'=diag.可見這個關於y的方程有唯一解(p是已知的可逆陣,x是方程(p逆)'xp+(p逆xp)'=diag唯一解,故y+y'=diag有唯一解),y=0.5diag是方程的解,解唯一.
這說明(p逆)'xp=y=0.5diag,可見x相似於對角陣0.5diag(此對角陣對角線皆是正值),也就是說x的特徵值全是正的,b就是x .
因此b對稱正定
有不懂可追問,第二問關鍵要注意,解唯一性的應用和預備定理的含義.
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