1樓：暴走愛影視
僅有五種正多面體，即是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
所謂正多面體，當然要首先保證它是一個多面體，而它的特殊之處就在於它的每一個面都是正多邊形，而且各個面的正多邊形都是全等的。
也就是說，將正多面體的各個面剪下來，它們可以完全重合。所以雖然多面體很多，可是正多面體卻很少，僅有五個。
正四面體是由四個全等的等邊三角形組成的；正六面體是由六個全等的正方形組成的；正八面體是由八個全等的等邊三角形組成的；正十二面體是由十二個全等的正五邊形組成的；正二十面體是由二十個全等的等邊三角形組成的。
2樓：匿名使用者
正多面體的種數很少。多面體可以有無數，但正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。
證明頂點數v，面數f，稜數e
設正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點有m條稜。稜數e應是面數f與n的積的一半（每兩面共用一條稜），即
nf=2e -------------- ①
同時，e應是頂點數v與m的積的一半，即
mv=2e -------------- ②
由①、②，得
f=2e/n, v=2e/m,
代入尤拉公式v+f-e=2，
有2e/m+2e/n-e=2
整理後，得1/m+1/n=1/2+1/e.
由於e是正整數，所以1/e>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- ③
說明m,n不能同時大於3，否則③不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的稜數與多邊形的邊數）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一個等於3
當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以有以下幾種情況：
n m 型別
3 3 正四面體
4 3 正六面體
3 4 正八面體
5 3 正十二面體
3 5 正二十面體
由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體
所以正多面體只有5種
為什麼正多面體只有五種？
3樓：匿名使用者
設正多面體的每個面是正n邊行，每個頂點是m條稜，於是，稜數e應是f（面數）與n的積的一半，即
nf=2e -------------- 1式
同時，e應是v（頂點數）與m的積的一半，即
mv=2e -------------- 2式
由1式、2式，得
f=2e/n, v=2e/m,
代入尤拉公式
v+f-e=2，
有 2e/m+2e/n-e=2
整理後，得1/m+1/n=1/2+1/e.
由於e是正整數，所以1/e>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式說明m,n不能同是大於3，否則3式不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的稜數與多邊形的邊數）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一個等於3
當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以 n m 型別
3 3 正四面體
4 3 正六面體
3 4 正八面體
5 3 正十二面體
3 5 正二十面體
由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體
所以正多面體只有5種
4樓：匿名使用者
這個問題如果要證明的話可能需要高等拓撲學的知識，不過我想除非有意研究，否則沒人會想去看那麼複雜的證明的。簡單來說，就是隻有這五種多邊形才能在空間中組成一個自洽的多面體，其他的都沒有辦法自洽。
5樓：匿名使用者
另外一個角度的通俗解答（好理解，但證明不嚴格）：
設正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點是m條稜，即相鄰m個n邊形。
正n邊形的頂角角度為180(n-2)/n，正多面體每個頂點可能的角度之和為m×180(n-2)/n<360°，（=360°將成為一個平面），
因為m、n均一定≥3，
正3邊形，頂角為60°，由其構成正多面體每個頂點可能的m為3、4、5，
正4邊形，頂角為90°，由其構成正多面體每個頂點可能的m為3，正5邊形，頂角為108°，由其構成正多面體每個頂點可能的m為3，正6邊形，頂角為120°，不可能有由正n邊形（n≥6）構成正多面體，綜上所述，正多面體構成的可能性只有以上5種。
n m 型別
3 3 正四面體
3 4 正八面體
3 5 正二十面體
4 3 正六面體
5 3 正十二面體
由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體
所以正多面體只有5種，而沒有更多。
為什麼世界上只有5種正多面體
6樓：夢色十年
設正多面體的每個面是正n邊行，每個頂點是m條稜，於是，稜數e應是f（面數）與n的積的一半，即：
nf=2e -------------- 1式
同時，e應是v（頂點數）與m的積的一半，即
mv=2e -------------- 2式
由1式、2式，得
f=2e/n, v=2e/m,
代入尤拉公式
v+f-e=2，
有2e/m+2e/n-e=2
整理後，得1/m+1/n=1/2+1/e.
由於e是正整數，所以1/e>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式說明m,n不能同是大於3，否則3式不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的稜數與多邊形的邊數）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一個等於3
當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以n m 型別
3 3 正四面體
4 3 正六面體
3 4 正八面體
5 3 正十二面體
3 5 正二十面體
由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體
所以正多面體只有5種
7樓：我是一個麻瓜啊
證明如下：設正多面體每個頂點有m條稜，每個面都是正n邊形，多面體的頂點數是v，面數是f，稜數是e。因為兩個相鄰面有一公共稜，所以
因為兩個相鄰頂點有一公共稜，所以
又因多面體的euler定理，得v+f-e=2，從上面三式可得
要使得上面的式子成立，必須滿足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因為m≥3，所以
於是n<6。
當n=3時，m<6，所以m能取的值是3、4、5；
當n=4時，m<4，所以m能取的值是3；
當n=5時，m<10/3，所以m能取的值是3。
當n=3，m=3時，v=4，f=4，e=6；當n=3，m=4時，v=6，f=8，e=12；當n=3，m=5時，v=12，f=20，e=30；當n=4，m=3時，v=8，f=6，e=12；當n=5，m=3時，v=20，f=12，e=30；所以正多面體只有上述五種。
正多面體 所謂正多面體，是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，並且各個多面角都是全等的多面角。例如，正四面體（即正稜錐體）的四個面都是全等的三角形，每個頂點有一個三面角，共有三個三面角，可以完全重合，也就是說它們是全等的。
正多面體的種數很少。多面體可以有無數，但正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體。
有些化學元素的結晶體呈正多面體的形狀，如食鹽的結晶體是正六面體，明礬的結晶體是正八面體。
古希臘的畢達哥拉斯學派曾對五種小多面體作過專門研究，並將研究成果拿到柏拉頓學校教授。故而，西方數學界也將這五種正多面體稱為柏拉頓立體。
8樓：鬧鬧
太簡單了 考慮能夠構成正多面體的正多邊形只有 三角形、正方形、正五邊形 因為從一個頂點至少向外發3條楞，也即正多邊形頂角小於120度 這樣一個頂點處就有五種情況： 三個正三角形（正四面體） 四個正三角形（正八面體） 五個正三角形（正二十面體） 三個正方形（立方體） 三個正五邊形（正十二面體）
麻煩採納，謝謝!
為什麼只有五種正多面體？
9樓：匿名使用者
根據多面體尤拉公式計算只有五種，即簡單多面體的頂點數v、面數f及稜數e間有關係v+f-e=2。
如果不是立方體那麼它有兩個面合成一個面了，就不是所有面都全等了~
10樓：匿名使用者
正多面體的定義：
所謂正多面體，是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，並且各個多面角都是全等的多面角。例如，正四面體（即正稜錐體）的四個面都是全等的三角形，每個頂點有一個三面角，共有四個三面角，可以完全重合，也就是說它們是全等的。
正多面體的種數很少。多面體可以有無數，但正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體。
有些化學元素的結晶體呈正多面體的形狀，如食鹽的結晶體是正六面體，明礬的結晶體是正八面體。
古希臘的畢達哥拉斯學派曾對五種小多面體作過專門研究，並將研究成果拿到柏拉頓學校教授。故而，西方數學界也將這五種正多面體稱為柏拉頓立體。
型別 面數 稜數 頂點數 每面邊數 每頂點稜數正4面體 4 6 4 3 3
正6面體 6 12 8 4 3
正8面體 8 12 6 3 4
正12面體 12 30 20 5 3
正20面體 20 30 12 3 5
為什麼正多面體只有5種？有沒有更加直觀易懂的解釋
11樓：匿名使用者
設正多面體的每個面是正n邊行，每個頂點是m條稜，於是，稜數e應是f（面數）與n的積的一半，即
nf=2e -------------- 1式
同時，e應是v（頂點數）與m的積的一半，即
mv=2e -------------- 2式
由1式、2式，得
f=2e/n, v=2e/m,
代入尤拉公式
v+f-e=2，
有 2e/m+2e/n-e=2
整理後，得1/m+1/n=1/2+1/e.
由於e是正整數，所以1/e>0。因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式說明m,n不能同是大於3，否則3式不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的稜數與多邊形的邊數）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一個等於3
當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5
所以 n m 型別
3 3 正四面體
4 3 正六面體
3 4 正八面體
5 3 正十二面體
3 5 正二十面體
由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體
所以正多面體只有5種
人為什麼有很多面
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