1樓:匿名使用者
在彈性體區域內,根據微分體上的力平衡條件,建立平衡微分方程,根據微分段上應變和位移的幾何條件,建立幾何方程,再根據物理方程,然後在邊界條件下,求解彈性體區域內的微分方程,得出應力,應變和位移
彈性力學平面問題的應力函式法
2樓:中地數媒
一、彈性力學平面問題的基本方程
真實的彈性體都是空間物體,但當其形狀和受力情況具有某些特點時,在數學上可按平面問題處理。平面問題分為平面應力問題和平面應變問題,兩種平面問題的基本未知量、平衡微分方程、幾何方程是相同的。
1.平衡微分方程
如不計體力,彈性力學平面問題的平衡微分方程如式(2-1)所示:
岩石斷裂與損傷
式中:σx、σy、τxy分別為正應力和切應力分量。
2.幾何方程
設平面內一點在x、y方向的位移分量為u、v;應變分量為εx、εy、γxy。則應變與位移的關係即幾何方程,如式(2-2)所示:
岩石斷裂與損傷
3.物理方程(本構方程)
平面應力問題和平面應變問題的物理方程(或稱為本構方程)不同,對於平面應力問題,在彈性範圍內,應力與應變關係如式(2-3)所示:
岩石斷裂與損傷
式中:e為材料的彈性模量;μ為泊松比;g為剪下彈性模量。對於平面應變問題,應將上式中的e、μ進行如下代換:
岩石斷裂與損傷
為求解上述方程,可採用位移法或應力法。將應力作為基本未知量求解彈性力學問題的方法稱為應力法。
二、airy應力函式法
眾多學者研究過彈性力學問題的解。2023年,airy給出一種解為
岩石斷裂與損傷
將式(24)代入式(21),不難驗證它滿足平衡微分方程。式(24)中ψ(x,y)稱為airy應力函式。為使應力函式ψ(x,y)滿足其他方程,ψ(x,y)還必須滿足變形協調條件:
岩石斷裂與損傷
即ψ(x,y)為雙調和函式,如果找到應力函式,通過應力邊界條件確定應力分量中的待定常數,然後由物理方程求應變分量,再由幾何方程求位移分量。
三、westergaard應力函式法
2023年,h.m.westergaard在《bearing pressures and cracks》中提出下列復變應力函式:
岩石斷裂與損傷
式中:分別是解析函式z=z(z)的一次積分和二次積分,即
岩石斷裂與損傷
顯然,也是解析函式。式中:z=x+iy,其中x、y都是實變數,表示單元體的位置座標。為了以後應用的方便,下面簡要介紹一下有關複變函式的一些性質。
如z=x+iy是一個復變數,則z(z)=rez(z)+iimz(z)為複變函式。若z(z)為解析函式,即複變函式z(z)在某區域上處處可導。則必須滿足柯西-黎曼條件(cauchy-riemann):
岩石斷裂與損傷
可以證明:
(1)如z(z)為解析函式,則:▽2rez=0,▽2imz=0。
即:任何復變解析函式及其實部與虛部都滿足調和方程,它們都是調和函式。
(2)z(z)可導,則有
岩石斷裂與損傷
(3)如z(z)為解析函式,則
岩石斷裂與損傷
岩石斷裂與損傷
根據複變函式的性質,可以證明式(2 6)所示的ψ是否可以作為應力函式,即證明ψ是否滿足雙調和方程:
岩石斷裂與損傷
因為z為調和函式,故
岩石斷裂與損傷
因為z為調和函式,
岩石斷裂與損傷
故ψ可作為應力函式。相應的應力分量為
岩石斷裂與損傷
將式(2-7)代入式(2-3)得
岩石斷裂與損傷
故岩石斷裂與損傷
同理可得y方向的位移分量v。位移分量u、v為
岩石斷裂與損傷
彈性力學的問題解法有幾種,並簡述
3樓:人生如夕陽
彈性力學問題copy解法有兩種。一是以位移分量為基本未知函式,從方程和邊界條件中 消去應力分量和形變分量,匯出只含位移分量的方程和相應的邊界條件,並由此解出位 移分量,然後再求出形變分量和應力分量,這種解法稱為位移法;二是以應力分量為基 本未知函式,從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量,匯出只含應力分量的方程 和相應的邊界條件,並由此解出應力分量,然後再求出形變分量和位移分量,這種解法 稱為應力法。
關於彈性力學中平面問題的基本理論
4樓:匿名使用者
還記得積分的階梯式推導嗎?δx越來越小,積分[x,x+δx]的結果就越趨於f(x)δx。
也就是說,微元越小,其中各值的差別與平均值的比例就越趨近於0,也就是越來越趨於平均。
5樓:匿名使用者
這個相對的兩個面是什麼意思,是兩個面之間的距離還是什麼?
彈性力學平面問題的基本方程有幾個
6樓:super蘇蘇
你可以這樣
bai理解:
應力是du物體裡面的力,因此zhi是未dao知的!一般問題版都是叫你求應力權方程不是嗎? 面力是物體表面的作用力,因此是已知的!
一般是作為已知條件的!你可以看得到的,通過試題的物體受力圖! 那我現在已知面力咋求應力方程呢?
只有一個辦。
7樓:匿名使用者
你好!平面問題有
兩個平衡方程
三個幾何方程
三個物理方程(8個方程)
待求未知數:兩個位移、三個應力、三個應變(8個)方程封閉,可求解
加上應力邊界條件、位移邊界條件,理論上可以求解
彈性力學的常用的數學方法
8樓:2e█重量
可分分成兩類:
1精確解法 包括分離變數法和彈性力學的複變函式方法。彈性力學中的許多精確解是用分離變數法求得的。其步驟大致如下:
根據物體的形狀,選擇一種合適的曲線座標系,並寫出相應於該座標系的彈性力學微分方程和邊界條件,如果微分方程中的變數能夠分離,通常便可求得問題的解。能用分離變數法求得精確解的問題有:無限和半無限體的問題,球體和球殼的問題,橢球腔的問題,圓柱和圓盤的問題等。
對於能化為平面調和函式或平面雙調和函式的問題,複變函式方法是一個有效的求解工具《柱體的扭轉和彎曲問題、平面應變和平面應力問題以及薄板彎曲問題中的許多重要精確解都是用複變函式法求得的。
2近似解法 為求解一些複雜的問題,在彈性力學中還發展了許多近似解法,能量法就是其中用得最多的一類方法,它把彈性力學問題化為數學中的變分問題(泛函的極值和駐值問題),然後再用瑞利-里茲法求近似解。能量法的內容很豐富,適應性很強。工程界當前廣泛使用的有限元法是能量法的一種新發展。
差分法也是一種常用的近似解法,其要點是用差商近似地代替微商,從而把原有的微分方程近似地化為代數方程。此外,邊界積分方程、邊界元法和加權殘數法對解決某些問題也是有效的手段。
數學彈性力學的典型問題 有以下幾類:
1一般性理論 它**解的共性和一般性的求解方法。一般性理論中,最核心的部分是能量原理(定理),包括虛功原理(虛位移原理、虛應力原理)、功的互等定理、最小勢能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯納二類變數廣義變分原理和胡海昌-鷲津久一郎三類變數廣義變分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收斂性等,也都和能量原理有密切聯絡。
這些一般性理論,是建立各種近似解法和建立工程結構實用理論的依據。
一般性理論的另一重要方面是未知函式的歸併理論,其主要內容是將彈性力學問題歸為求解少數幾個函式,這些函式常稱為應力函式和位移函式。
2柱體扭轉和彎曲 一個側面不受外力的細長柱體,在兩端面上的外力作用下會產生扭轉和彎曲。根據聖維南原理,柱體中間部分的應力狀態只與作用在端面上載荷的合力和合力矩有關,而與載荷的具體分佈無關。因此,柱體中間部分的應力有以下的表示式:
這裡的x、y軸為橫截面的兩個主軸;z軸平行於柱體的母線;為應力分量,a為橫截面的面積;ix和iy為橫截面對x軸和y軸的慣性矩(見截面的幾何性質);n、mx和my分別為作用在截面上的軸向合力、對x軸和y軸的彎矩。彎矩mx、my是座標z的線性函式,可用材料力學的方法求得。式(11)給出的與材料力學的解相同,但給出的剪應力比材料力學的結果精確。
決定的問題最後可歸為求解一個平面調和函式的邊值問題。
3平面問題 平面問題是彈性力學中發展得比較成熟,應用得比較廣的一類問題。平面問題可分為平面應力問題和平面應變問題。兩者的應用物件不同,但都可歸為相同的數學問題——平面雙調和函式的邊值問題.
平面應力問題適用於薄板。若在薄板的兩個表面上無外力,而在側面上有沿厚度均勻分佈的載荷(圖1),則薄板中的位移和應力有如下特點:
且以及x、y方向的位移u、v都與座標z無關。對於各向同性材料,上述五個不等於零的量可以用一個應力函式φ(x,y)(艾裡應力函式)表示為:
而應力函式φ是一個平面雙調和函式,即
平面應變問題適用於長柱體的中間部分。若柱體的兩端面固定不動,而作用在側面上的載荷和座標z無關,且合力及合力矩等於零(圖2),則柱體中間部分的應力和位移有如下特點:
縱向位移ω=0,且、u、v與座標z無關。對於各向同性的材料,上述五個不等於零的量也可用一個雙調和函式φ表示為公式(13),不過須將其中的e和v分別代以
4變截面軸扭轉變截面軸受扭時,在截面的過渡區(圖3)常有應力集中現象。分析這類問題以取圓柱座標系(r,θ,z)為方便。在圓柱座標系中的位移分量和應力分量分別記為u、v、w和
這類問題的力學特點是: u=w=0和
v、和與座標z無關。上述不等於零的兩個剪應力和可用一個應力函式(r,z)表示為:
而滿足下列偏微分方程:
這類問題最後歸為方程(15)的邊值問題。
5迴轉體的軸對稱變形各向同性的迴轉體在軸對稱載荷作用下,必然產生軸對稱的變形。在圓柱座標系(r,θ,z)中,軸對稱變形的特點是:v=0,=,且u、w、、、和與座標θ無關。
上述不等於零的六個量,可以用一個位移函式(x,y)表示為:
其中△是軸對稱的拉昔拉斯算符,即
而是軸對稱的雙調和函式,即
6工程結構元件的實用理論 從廣義上說,各種工程結構元件的實用理論(如杆、板、殼的實用理論)都是彈性力學的特殊分支,而且是最有實用價值的分支。這些實用理論分別依據結構元件形狀及其受力的特點,對位移分佈作一些合理的簡化假設,對廣義胡克定律也作相應的簡化。這樣,就能使數學方程既得到充分簡化又保留了主要的力學特性。
從彈性力學看,這些結構元件的實用理論都是近似理論,其近似性大多表現為按照這些理論計算得到的應力和應變不能嚴格滿足胡克定律。
彈性力學平面問題包括哪兩類聯絡及區別
9樓:匿名使用者
包括 1平面應力。長、寬尺寸遠大於厚度 沿板邊受有平行板面的面力,且沿厚度均布,體力平行於板面且不沿厚度變化,在平板的前後表面上
2平面應變。 很長的柱體,在柱面上承受平行於橫截面並且不沿長度變化的面力,同時體力也平行於橫截面並且不沿長度變化
區別和聯絡
它們的平衡方程及幾何方程都一樣
只是物理方程不同
在物理方程中只需將平面應力中的
e換成e/(1-v)
v換成v/(1-v)
就可以得到平面應變問題解答
彈性力學的問題解法有幾種,並簡述
彈性力學問題copy解法有兩種。一是以位移分量為基本未知函式,從方程和邊界條件中 消去應力分量和形變分量,匯出只含位移分量的方程和相應的邊界條件,並由此解出位 移分量,然後再求出形變分量和應力分量,這種解法稱為位移法 二是以應力分量為基 本未知函式,從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量,匯出只含...
求解彈性力學問題的基本方程是什麼
求解彈性力學有類方程，共15個方程。3個平衡方程，6個物理方程，6個幾何方程。彈性力學是固體力學的重要分支，它研究彈性物體在外力和其他外界因素作用下產生的變形和內力，又稱彈性理論。它是材料力學 結構力學 塑性力學和某些交叉學科的基礎，廣泛應用於建築 機械 化工 航天等工程領域。彈性體是變形體的一種，...
彈性力學平面應變問題中,書上說由於對稱zxzy
你假定抄那個平行六邊體的左右兩面 取右邊bai和左邊的隔離體為研究 du物件而形成的正面和負zhi面 一般情況下通過dao平行六邊體看這上面的 zx 在平行六邊體的正面和負面看方向是相反的,但是因為截面對稱,這樣就要求這個剪力不論是正面還是負面應該保持方向一致。這種情況下既要方向相反又要方向相同而且...