1樓:
題目有寫k<0嗎?那樣的話特徵根才是復根,但得寫為r1=√(-k)i, r2=-√(-k)i
如果k>0,那麼特徵根為實數,r1=√k, r2=-√k
所以題目寫法肯定有問題。
求大神算一下這個微分方程 順便講解一下特徵根的重數是什麼、怎麼看?謝謝了!
2樓:金牛咲
解法如下:
因為齊次方程y"+y=0的特徵方程是r^2+1=0,則特徵根是r=±i (二複數根),
所以此特徵方程的通解是y=c1cosx+c2sinx (c1,c2是任意常數),
設原方程的解為y=ax+b,則代入原方程,化簡得:
(a+1)x+b=0==>a+1=0,b=0==>a=-1,b=0
y=-x是原方程的一個特解,
故原方程的通解是y=c1cosx+c2sinx-x。
特徵方程有n個相同的根,特徵根的重數就是n。比如,此題的特徵方程是r^2+1=0,特徵根是2個單根r=i和r=-i 。所以此特徵根的重數就是1。
擴充套件資料
齊次方程:
在方程中只含有未知函式及其一階導數的方程稱為一階微分方程。其一般表示式為:dy/dx+p(x)y(x)=q(x),其中p(x)、q(x)為已知函式,y(x)為未知函式,當式中q(x)≡0時,方程可改寫為:
dy(x)/dx+p(x)y(x)=0。
形如y''+py'+qy=0的方程稱為「齊次線性方程」,這裡「線性」是指方程中每一項關於未知函式y及其導數y',y'',......的次數都是一次(這裡的次數指的是每一項關於y'、y''等的次數。
如:y'、y"是一次的,y'y''是二次的),而「齊次」是指方程中每一項關於自變數x的次數都相等(都是零次)。
方程y''+py'+qy=x就不是「齊次」的,因為方程右邊的項x不為零,因而就要稱為「非齊次線性方程」。
3樓:匿名使用者
解:∵齊次方程y"+y=0的特徵方程是r^2+1=0,則特徵根是r=±i (二複數根)
∴此特徵方程的通解是y=c1cosx+c2sinx (c1,c2是任意常數)
∵設原方程的解為y=ax+b,則代入原方程,化簡得(a+1)x+b=0
==>a+1=0,b=0
==>a=-1,b=0
∴y=-x是原方程的一個特解
故原方程的通解是y=c1cosx+c2sinx-x。
4樓:匿名使用者
特徵方程有n個相同的根,特徵根的重數就是n。比如,此題的特徵方程是r^2+1=0,特徵根是2個單根r=i和r=-i 。所以此特徵根的重數就是1。
二階線性微分方程r為複數根怎樣判斷幾重根
5樓:超級大超越
如果特徵方程為虛數解的話,齊次通解的形式為y=e^(ax)·(c1·cos(bx)+i·c2·sin(bx))
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