1樓：冥靈大師
|分先證明第一個：數軸上，點a表示數a，點b表示數b
|a-b|是線段ab的長度，|a|,|b|分別是線段oa,ob的長度（注意：這些長度是可以等於0的）
顯然，要不然ab=oa+ob，要不然oa=ab+ob或ob=ab+oa，都能推匯出ab<=oa+ob
第二個就好辦了，因為|a+b|=|a-(-b)|，而|a|+|b|=|a|+|-b|
所以，可以利用第一個結論證明|a-(-b)|<=|a|+|-b|，即|a+b|<=|a|+|b|
**化是一種很重要的數學思想）
當然，第二個也可以用數軸證，方法同第一個：設點b'表示數-b，則|a+b|=|a-(-b)|=ab'
2樓：匿名使用者
|||||證明：（三角形不等式）
1、當a≥0，b≥0時
||a| - |b|| = |a - b|，很明顯，|a - b|＜|a + b|
2、當a≥0，b＜0時
||a| - |b|| = |a + b|，很明顯，|a + b| = |a + b|
3、當a＜0，b≥0時
||a| - |b|| = |-a - b| = |a + b|，很明顯，|a + b| = |a + b|
4、當a＜0，b＜0時
||a| - |b|| = |b - a|，很明顯，|b - a|＜|a + b|
綜上可知，無論a，b為何值，均滿足
||a| - |b||≤|a + b|
證畢一定要採納！
3樓：星語心願
|||a+b|和|a-b| 都表示第三邊嗎？
其實大家都知道如下這兩個有名的不等式
|a+b|≤|a|+|b| 和 ||a|-|b||≤|a-b| ，
他們有一個很特殊的名稱「三角形不等式」，但是這個名稱的由來可能很少有人去追究。
他們的幾何意義就是「三角形兩邊之和大於第三邊」和「三角形兩邊之差小於第三邊」。
||a| - |b||≤|a + b|如何證明？
1、當a≥0，b≥0時
||a| - |b|| = |a - b|，很明顯，|a - b|＜|a + b|
2、當a≥0，b＜0時
||a| - |b|| = |a + b|，很明顯，|a + b| = |a + b|
3、當a＜0，b≥0時
||a| - |b|| = |-a - b| = |a + b|，很明顯，|a + b| = |a + b|
4、當a＜0，b＜0時
||a| - |b|| = |b - a|，很明顯，|b - a|＜|a + b|
由以上4種情況的討論知道，無論a，b為何值，均滿足
||a| - |b||≤|a + b|證畢！
4樓：匿名使用者
利用向量證明
1)向量a,b不共線時:
和向量與差向量可以同三角形法則求出,那麼在一個三角形中,兩邊之和大於第三邊即可以證明,向量和差的模小於向量模的和.
2)向量a,b共線時:
當它們方向相同時,差向量的模小於向量模的和;和向量的模等於向量模的和當方向相反時,差向量的模等於向量模的和;和向量的模小於向量模的和
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 求詳細證明過程
5樓：匿名使用者
|||≤當a,b<0時，iai=-a, ibi=-b, 那麼:
|a|-|b|=-a-(-b)=b-a,
ia+bi=-(a+b),
|a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b).而-(a+b)>b-a,故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
當a,b=0時，iai=0, ibi=0, 那麼: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|=0成立。
當a,b>0時，iai=0, ibi=0, 那麼:
|a|-|b|=a-b,
ia+bi=a+b,
|a|+|b|=a+b.而a+b>a-b, 故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
綜上所述：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
故： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
6樓：成都維巨集教育
||畫出數軸，在數軸上任意標註兩點a和-b|a|-|b|表示a和-b到原點的距離差
|a+b|=|a-(-b)|表示a到-b的距離|a|+|b|=|a-0|+|0-(-b)|表示a和-b到原點的距離之和
∴|a|-|b|≤|a+b| (|a|<|b|時恆成立；|a|>|b|時，a和-b同側，|a|-|b|=|a+b| ，異側則，|a|-|b|<|a+b| )
|a+b|≤|a|+|b| (a和-b同側，|a+b|<|a|+|b|，異側則，|a+b|=|a|+|b|)
∴|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
7樓：xx西瓜
分類討論，分a,b的正負討論即可
幫忙解釋或證明||a|-|b||<=|a+-b|<=|a|+|b|
8樓：看完就跑真刺激
|、||
||||a|-|b||、|a±b|、|a|+|b|均為非負數，因此可以分別比較其平方的大小
平方分別為：
（||a|-|b||）＾2＝a^2-2|a||b|+b^2------------1
(|a±b|)^2=(a±b)^2=a^2±2ab+b^2-------------2
(|a|+|b|)^2=a^2+2|a||b|+b^2---------------3
2-1得
2|a||b|±2ab＝2|ab|±2ab≥0（一個數的絕對值肯定大於等於這個數本身）
所以2式≥2式
3－2得：2|a||b|±2ab與2－1一樣，所以3式≥2式
所以3式≥2式≥2式
得到||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
擴充套件資料：
不等式的基本性質的表達方式有：
①對稱性；
②傳遞性；
③加法單調性，即同向不等式可加性；
④乘法單調性；
⑤同向正值不等式可乘性；
⑥正值不等式可乘方；
⑦正值不等式可開方；
⑧倒數法則。
如果由不等式的基本性質出發，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式。
另，不等式的特殊性質有以下三種：
①不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；
②不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；
③不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向變。 總結：當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值。
9樓：匿名使用者
||||x向量; a、b、a±b構成三角形則| |a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|還可能，在同一直線上，
綜上，||a|-|b||<=|a+-b|<=|a|+|b|------------------------------------------
初中，分①同號時，||a|-|b||<|a+b|=|a|+|b|②異號時，||a|-|b||=|a+b|<|a|+|b|③一個加數為0時，||a|-|b||=|a+b|=|a|+|b|，綜上||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
同理||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|綜上，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
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