1樓:匿名使用者
1、混合積的幾何意義:
幾何上,由三個向量定義的平行六面體,其體積等於三個標量標量三重積的絕對值:
2、證明:
以 b 和 c 來表示底面的邊,則根據叉積的定義,底面的面積a為:
其中,且
得出結論:
於是,根據點積的定義,它等於
的絕對值,即
擴充套件資料:
混合積的特性:
1、以下恆等式,稱作三重積或拉格朗日公式,對於任意向量 a,b。c 均成立:
2、英文中有對於第一式有助記口訣 bac-cab (back-cab,後面的計程車),但是不容易記住第一式跟第二式的變化,很容易搞混。 觀察兩個公式,可得到以下三點:
兩個分項都帶有三個向量 a,b。c ,三重積一定是先做叉積的兩向量之線性組合。中間的向量所帶的係數一定為正(此處為向量b)。
在向量分析中,有以下與梯度相關的一條恆等式:
這是一個拉普拉斯-德拉姆運算元的特殊情形。
2樓:匿名使用者
向量的混合積可以用來計算四面體的體積v=1/6*abs([ab ac ad]),即向量的混合積為空間六面體的體積。
例如上圖中,ab ,ad ,aa1 的混合機幾何意義就是如圖所示的空間六面體的體積。
混合積:設 a ,b ,c 是空間中三個向量,則 (a×b) c 稱為三個向量 a ,b ,c 的混合積,記作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc).
定義:設 a ,c 是空間中三個向量,則 (a×b)c 稱為三個向量 a ,b ,c 的混合積,記作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc).
設 a ,b ,c 為空間中三個向量,則 |(a×b)c| 的幾何意義表示以 a ,b ,c 為稜的平行六面體的體積 .
因為 (a,b,c)=(a×b)c=|a×b||c|cos 〈 a ×b ,c 〉=
|ax ay az|
|bx by bz|
|cx cy cz|
向量的混合積可以用來計算四面體的體積v=1/6*abs([ab ac ad])
,從而混合積 (a,b,c) 的符號是正還是負取決於 ∠ (a×b , c ) 是銳角還是鈍角,即 a×b 與 c 是指向 a , b 所在平面的同側還是異側,這相當於 a , b , c 三個向量依序構成右手系還是左手系 .
定理:三個向量 a , b , c 共面的充分必要條件是 (a,b,c)=0.
3樓:匿名使用者
向量的混合積有下述幾何意義:以向量、、為稜作一個平行六面體,並記此六面體的高為,底面積為,再記,向量與的夾角為. 當與指向底面的同一側時,;當與指向底面的相異一側時,,綜合以上兩種情況,得到.
而底面積. 這樣,平行六面體的體積.即向量的混合積是這樣的一個數,它的絕對值表示以向量、、為稜的平行六面體的體積.
根據向量混合積的幾何意義,可以推出以下結論:(1)三向量,,共面的充分必要條件;(2)空間四點共面的充分必要條件是.
用混合積的幾何意義證明三向量共面的充分必要條件是???
4樓:匿名使用者
給你一個參考地址:
在這個網頁的最後,證明了向量的混合積等於你的題目中所描述的行列式。這樣的話,行列式的值是0,相當於
(axb)c=0(a,b,c都是向量)
分析這個式子的幾何意義
axb表示以向量a,b為基底的平面p的法向量n,n點乘c=0說明c與平面p平行,由向量平行的定義知,a,b,c向量共面。
5樓:匿名使用者
n個無關向量的行列式,等於這n個向量的端點和原點組成的那個多面體
的(有向)體積v(v1,...vn)。理由如下:
設前n-1個向量張成的低一維子空間是s。n=3時,s就是一個平面。第n
個向量vn可以分解成兩部分vn = vn1 + vn2,其中vn1屬於s,vn2垂直
於s。因為體積等於底面積乘以高,所以vn1對體積沒有貢獻。就是說,
v(v1,...,vn)=v(v1,...,vn2)。同樣的,行列式函式det(v1,...,vn)具
有同樣的性質。在單位正交基上,這兩個函式v和det給出同樣的值1。
且這兩函式都是多線性的(對每個向量都是線性的)。簡單的代數推理
可以證明,這些性質(多線性,反對稱,單位)唯一的確定了這個函式
。就是說v=det.
3維空間中,3個向量的混合積(v1xv2)*v3很容易證明是v(v1,v2,v3)。
這是因為v1xv2是長度是v1,v2張成的平行四邊形面積,方向與這平行四
邊形垂直。與v3的內積剛好是「底面積乘以高」。事實上,混合積也是
滿足多線性,反對稱,在單位正交基上取1,所以混合積也等於det.
有了這個幾何意義你的所有問題都解決了。
6樓:匿名使用者
就是a向量點乘(b向量叉乘c向量)
b向量叉乘c向量的結果是得到一個垂直於b,c張成的面的向量d,如果a垂直於d,那麼就意味著a,b,c共面。
你把行列式裡的ax,ay,az換成i,j,k向量,得到的就是向量d,再用a點乘d,你自然發現你題目裡的行列式就是[a向量點乘(b向量叉乘c向量)]
若它為0,就是a,b,c共面了
向量的積的幾何意義
7樓:′小情歌
向量的混合積有下述幾何意義:以向量、、為稜作一個平行六面體,並記此六面體的高為,底面積為,再記,向量與的夾角為. 當與指向底面的同一側時,;當與指向底面的相異一側時,,綜合以上兩種情況,得到.
而底面積. 這樣,平行六面體的體積.即向量的混合積是這樣的一個數,它的絕對值表示以向量、、為稜的平行六面體的體積.
根據向量混合積的幾何意義,可以推出以下結論:(1)三向量,,共面的充分必要條件;(2)空間四點共面的充分必要條件是.
8樓:ok星空小葉
如果是內積則表示數值而不是向量,物理學的功就是力和位移的內積。內積滿足交換律和結合律,上式可以直接。外積表示以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的面積。
向量數量積的幾何意義是什麼?
9樓:cy辭言
向量數量積的幾何意義:一個向量在另一個向量上的投影。
定義兩向量的數量積等於其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積
兩向量α與β的數量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)
若有座標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那麼 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用數量積可以求出兩向量的夾角的餘弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知兩個向量a和b,它們的夾角為c,則a的模乘以b的模再乘以c的餘弦稱為a與b的數量積(又稱內積、點積。)
即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積,記作a·b"·不可省略若用×則成了向量積
擴充套件內容:
向量積性質
幾何意義及其運用
叉積的長度 |a×b| 可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時,所構成平行四邊形的面積。據此有:混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a,b,c為稜的平行六面體的體積。
[1]
代數規則
1.反交換律:a×b= -b×a
2.加法的分配律:a× (b+c) =a×b+a×c
3.與標量乘法相容:(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不滿足結合律,但滿足雅可比恆等式:a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律,線性性和雅可比恆等式別表明:具有向量加法和叉積的 r3 構成了一個李代數。
6.兩個非零向量a和b平行,當且僅當a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
這是一個著名的公式,而且非常有用:
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
證明過程如下:
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成「bac - cab」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是,這個公式對微分運算元不成立。
這裡給出一個和梯度相關的一個情形:
這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是:
這是一個在四元數代數中範數乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2]
矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i,j,k滿足下列等式:
i×j=k;
j×k=i ;
k×i=j ;
通過這些規則,兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來,不需要考慮任何角度:設
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k;
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i,j,k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言,若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數 a1i+ a2j+ a3k,兩個向量的叉積可以這樣計算:
計算兩個四元數的乘積得到一個四元數,並將這個四元數的實部去掉,即為結果。更多關於四元數乘法,向量運算及其幾何意義請參看四元數(空間旋轉)。 [2]
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到,與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質:
雙線性性:x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z;(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x;
反交換律:x×y+y×x= 0;
同時與 x 和 y 垂直:x· (x×y) =y· (x×y) = 0;
拉格朗日恆等式:|x×y|2 = |x|2 |y|2 - (x·y)2;
不同於三維情形,它並不滿足雅可比恆等式:x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
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