任何厄米矩陣都可以被麼正矩陣對角化嗎

1樓：匿名使用者

兩者的判斷方法：首先，看這個矩陣是不是方陣（即行數和列數相等的矩陣。若行數和列數不相等，那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣）。

然後，再看此方陣的行列式｜a｜是否等於0，若等於0，稱矩陣a為奇異矩陣；若不等於0，稱矩陣a為非奇異矩陣。同時，由｜a｜≠0可知矩陣a可逆。

這樣可以得出另外一個重要結論：可逆矩陣就是非奇異矩陣，非奇異矩陣也是可逆矩陣。如果a為奇異矩陣，則ax＝0有無窮解，ax＝b有無窮解或者無解。

如果a為非奇異矩陣，則ax＝0有且只有唯一零解，ax＝b有唯一解。

記mn是n＊n維的hermite矩陣，設xnn是mn的一個單位特徵向量，λn是對應xn的特徵值。

拓展xn，補齊一組x1n、x2n．．．x（n－1）n、xnn，使得un＝［x1nx2n．．．x（n－1）nxnn］為么正矩陣。

那麼，考慮（un＋）＊mn＊un。記tn＝（un＋）＊mn＊un，tnij是tn第i行第j列的元素，我們有mn＊un＝un＊tn。等式兩邊的第n列相等。

也就是mn＊xn＝（σi）tnin＊xin，即λn＊xn＝（σi）tnin＊xin。由於x1n、x2n．．．x（n－1）n、xnn是一組基，所以有tnin＝0（i！＝n）或λn（i＝n）。

同時，由於mn＋＝mn，所以tn＋＝tn，所以tnni＝0（i！＝n）或λn＋（i＝n）。（ps：這裡可以得到tnnn＝λn＋＝λn，也就是λn為實數）

於是，可以將tn記為diag（mn－1，λn），依次對mn－1、．．．m2做同樣的操作，即可求出u使得（u＋）mnu＝diag（λ1，．．．λn）。

擴充套件資料

舉例：u是么正矩陣，f是厄米矩陣，u＝exp（if）．求證：detu＝exp（itrf）：

證明：這需要先說明一個重要定理：若a和b相似，則deta＝detb．tra＝trb，所以算符a的的跡及行列式值在任何表象變換中是不變的。

因為det（ab）＝deta＊detb，tr（ab）＝tr（ba），再根據a＝u－1bu代入，可證出該定理．其實用不到tr（ab）＝tr（ba），可不用證這個。

有了此定理.f表象中以|vi>為基矢.由量子力學表象理論可知,厄米算符在自身表象下呈對角矩陣.

f|vi>=vi|vi>,u|vi>=exp(if)=exp(ivi)|vi> ,將exp(if)用泰勒可得後式.vi是指基矢,ivi指虛數i乘以vi。

由定理可知detu為u在f中表象中的行列式．（detu在任何表象中的行列式值不變），那麼怎麼求detu呢，uij為u矩陣元，uij＝＝ivj可看出u是對角矩陣。

所以detu為對角元的積，即為exp（iv1）＊exp（iv2）＊exp（iv3）．．．detu＝exp［i＊（v1＋v2＋v3＋．．．］厄米算符在自身表象下呈對角矩陣，所以trf＝v1＋v2＋v3＋v4＋．．．

exp（itrf）＝exp［i（v1＋v2＋v3＋v4＋．．．）］從兩式可看出．detu＝exp（itrf）

2樓：大連湯律師

定義：奇異矩陣是線性代數的概念，就是對應的行列式等於0的矩陣，反之則為非奇異矩陣

兩者的判斷方法：

首先，看這個矩陣是不是方陣（即行數和列數相等的矩陣。若行數和列數不相等，那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣）。然後，再看此方陣的行列式|a|是否等於0，若等於0，稱矩陣a為奇異矩陣；若不等於0，稱矩陣a為非奇異矩陣。

同時，由|a|≠0可知矩陣a可逆，這樣可以得出另外一個重要結論:可逆矩陣就是非奇異矩陣，非奇異矩陣也是可逆矩陣。　如果a為奇異矩陣，則ax=0有無窮解，ax=b有無窮解或者無解。

如果a為非奇異矩陣，則ax=0有且只有唯一零解，ax=b有唯一解。

用途示例

非奇異矩陣還可以表示為若干個初等矩陣的乘積，證明中往往會被用到。

如果a(n×n)為奇異矩陣（singular matrix）<=> a的秩rank(a) a滿秩，rank(a)=n.