1樓：商琦
當b=5a，c=7a時，
a^2，25a^2，49a^2
成等差 ，
不知道這樣說可不可以
2樓：匿名使用者
^^證明：bai取b=5a, c=7a, 則a^2 + c^2 = 50a^du2 =2b^2, 所以zhia^2,b^2,c^2成等差數dao列.
思路解析：版要使a^2,b^2,c^2成等差數列, 即權a^2 + c^2 = 2b^2, 所以(2b)^2 = (c-a)^2 + (a+c)^2.
因為x^2 + y^2 = z^2的所有整數解的形式為x=2kmn, y=k(m^2 - n^2), z=k(m^2 + n^2).
所以2b=k(m^2 + n^2), c-a=2kmn, c+a=k(m^2-n^2), 所以a=k(m^2-n^2-2mn)/2,
取k=a, m=3, n=1, 便可解得b=5a, c=7a.
當然m,n還有其它的取法，如m=17, n=7, 關鍵在於滿足(m^2-n^2-2mn)/2 = 1
證明以下命題：(ⅰ)對任一正整數a，都存在正整數b，c(b＜c)，使得a 2 ，b 2 ，c 2 成等差數列；(ⅱ)存在
3樓：沉默曉珺
證明：(ⅰ)易知12
，52 ，72 成等差數列，則a2 ，(5a)2 ，(7a)2 也成等差數列，
所以對任一正整數a，都存在正整數b=5a，c=7a(b＜c)，使得a2 ，b2 ，c2 成等差數列．
(ⅱ)若an
2 ，bn
2 ，**
2 成等差數列，則有bn
2 -an
2 =**
2 -bn
2 ，bn
2 ，**
2 ，bn
2 ，**
2 成等差數列。
證明以下命題： （1）對任一正整數，都存在正整數,()bcbc<，使得222,,abc成等差數列； （2）存在無窮多個 20
4樓：
(1)是比較簡單的.
只需要bai先考慮dua = 1的zhi
情況, 2b²-c² = 1, 可以得到一dao
組解: b = 5, c = 7.
於是對任意的a, 可取b = 5a, c = 7a, 此時a², 25a², 49a²成等差數列
內.(2)要求找到無容窮多組不對應成比例的a, b, c.
不妨取a = 1, 只要證明2y²-x² = 1有無窮多組正整數解.
這屬於pell方程, 有無窮多組正整數解是有定論的.
通解為: x+y√2 = (1+√2)^(2n+1) (即x, y分別為右端乘開合併後的係數, 如n = 1時即得y = 5, x = 7).
如果對這個結果不放心, 也可以這樣.
若x = c, y = b是2y²-x² = 1的一組正整數解, 可以驗證x = 3c+4b, y = 2c+3b也是一組正整數解.
這樣可依次迭代得到一列嚴格遞增的正整數解, 於是2y²-x² = 1有無窮多組正整數解.
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解答繁瑣。答案是 1,2 1,3 2,5 3,5 2,2 2,1 3,1 5,2 5,3 共九對。大體是由對稱性知m和n一樣，然後用同餘的知識解。參見 高中數學競賽培優教程 專題講座 浙江大學出版社 第20頁 例2.5 已知 mn 1 n 3 1 因為 mn 1,m 1,所以 mn 1,m 3 1 ...
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因為bai 325 25 13 du 所以 zhi325 5 13 那麼由於dao 13 4 13 2 13 3 13 5 13 可知，存在 a 13，b 13 16 208 和回 a 4 13 52 b 9 13 117 滿足條答件。325 5 13 13 4 13 2 13 3 13 所以，存在...