1樓：匿名使用者
我先理解抄一下你這個題。為了偷懶，bai我認為h和k是g的僅有的du兩個不同的n階子群，除zhi
它們以外沒有別的daon階子群了（所謂「恰好」）。如果不對請告知。
這樣對於k中的任何元素k，只要證明khk^(-1)=h即可（因為g是h和k生成的）說明h正規。現在
k k k^(-1)=k，而k h k^(-1)要麼是k，要麼是h。如果還是k的話，那就說明kgk^(-1)=k，但共軛是個內自同構，所以不可能（這裡要用到k和h是不同的，或者說k不是g的全部）。
k的正規性類似。
設有限群g恰好具有兩個n階子群h，k，並且g由h，k生成，證明h，k是g的正規子群 15
2樓：匿名使用者
^對任意k∈k, k^-1hk還是g的n階子群。如果k^-1hk=k，則得出h=k，與g恰有兩個n階子群矛盾。所以必有k^-1hk=h。
因為g由h、k生成，g中任意元素均為h、k中元素的乘積，故對任意g∈g, 總有g^-1hg=h，即證h是g的正規子群。同理可證k也是g的正規子群。
證明：設g是有限群，n整除|g|,且g中僅有一個n階子群h，則h是g 的正規子群。
3樓：玄色龍眼
對於任意g屬於g，考慮群n=ghg^(-1)現在證n是群，首先可以得到的是n中元素個回數與n中的元素個數相等任取a,b屬於n，則答
存在x,y屬於h，使得
a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)屬於h
所以ab^(-1)屬於n
所以n是群
所以n也是g的n階子群
而g只有一個n階子群
所以n=h
所以h是g的正規子群
4樓：匿名使用者
任意baig屬於g，考慮群n=ghg^(-1)n中元素個du數zhi與h中的元素個數相等任取a,b屬於n，dao則存在版x,y屬於h，使得a=gxg^權(-1)，b=gyg^(-1)所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)屬於h
所以ab^(-1)屬於n
所以n是群
所以n也是g的n階子群
而g只有一個n階子群
所以n=h
所以h是g的正規子群
5樓：200希望
作點修改：對於bai任意g屬於g，考慮群dun=ghg^(-1)現在zhi證n是群，首先可以得dao到的是n中元素個數與版h中的元素個數相等
權任取a,b屬於n，則存在x,y屬於h，使得a=gxg^(-1)，b=gyg^(-1)所以ab = gxg^(-1)gyg^(-1) = gxyg^(-1)
而xy屬於h
所以ab屬於n
所以n是群
所以n也是g的n階子群
而g只有一個n階子群
所以n=h
所以h是g的正規子群
n是g的正規子群,h是g的子群,h關於g的指數與n的階互素,證明n是h的正規子群。 求大神做一下！ 200
6樓：匿名使用者
首先，（[g:h], |n|)=1可以推出：
存在整數a,b，使得 a|g|/|h|+b|n|=1所以a|g|+b|n|*|h|=|h| ……………………（△）版其次，因為n是正規子群，所以nh=hn是g的子群，並且|nh|=|n||權h|/|n∩h| 即 |nh|*|n∩h|=|n|*|h|，所以|nh|整除 |n|*|h|
然後，剛才說了nh是g的子群，所以|nh|整除|g|所以，有(△)可知：|nh|整除|h|
所以nh=h，從而n是h的子群而且正規
g有唯一n階子群， 證明：h是g的正規子群。求詳細過程，先到先得。
7樓：匿名使用者
設h是baig的n階子群，任取
g中一個元素dug, 構造zhi如下集合h(g)= 現在證明h(g)是g的子群。屬 任取gh1g^-1,gh2g^-1屬於h(g) 則，gh1g^-1*(gh2g^-1)^-1=g(h1h2^-1)g^-1 因為h1h2^-1屬於h,所以g(h1h2^-1)g^-1屬於h(g) 所以h(g)是g的子群。且由消去律知道gh1g^-1=gh2g^-1可以推出h1=h2 所以|h(g)|=n 又因為h是g中唯一的n階子群，所以h(g)=h 即任取g屬於g 任取h屬於h 有 ghg^-1屬於h 所以h是g的正規子群 容易驗證gh和hg都是g的n階子群，但是g得n階子群只有一個 所以有gh=hg=h, 所以h是g的正規子群
記得采納啊
n是g的正規子群，h是g的子群，h關於g的指數與n的階互素，證明n是h的正規子群
8樓：du資騰
^設h是
自g的n階子群，任取g中一個元素g,
如下集合h(g)=
現在證明h(g)是g的子群。
任取gh1g^-1,gh2g^-1屬於h(g)
則，gh1g^-1*(gh2g^-1)^-1=g(h1h2^-1)g^-1
因為h1h2^-1屬於h,所以g(h1h2^-1)g^-1屬於h(g)
所以h(g)是g的子群。且由消去律知道gh1g^-1=gh2g^-1可以推出h1=h2
所以|h(g)|=n 又因為h是g中唯一的n階子群，所以h(g)=h
即任取g屬於g 任取h屬於h 有 ghg^-1屬於h 所以h是g的正規子群
容易驗證gh和hg都是g的n階子群，但是g得n階子群只有一個
所以有gh=hg=h, 所以h是g的正規子群
假定群g的正規子群n的階為2,證明g的中心包含n
9樓：匿名使用者
n中必有g的單位元1，所以由n的階為2，n中只有一個非單位元，記為a。為證g的中心專包含n，只需證明a屬於屬g的中心。
任取g∈g，考慮元素b=g^(-1)*a*g，則b與a共軛，故由n是正規子群可知b∈n。但b≠1（否則g^(-1)*a*g=1，得a=g*g^(-1)=1，矛盾），只可能有b=a。這說明g^(-1)*a*g=a，所以a*g=g*a，即a與g交換。
g是g中任意元素，所以必有a屬於g的中心。證畢
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