1樓：匿名使用者
將x=0帶入f(x)的傅立葉式
就可得到 f(0)=π/2-4/π*(1+1/3²+1/5²+……)
即π²/8=1+1/3²+1/5²+……
高數中，請問這個級數求和是怎麼來的?
2樓：匿名使用者
用傅立葉級數可以得到
設f(x)=x²,x∈[-π,π],把它擴充套件成周期為2π的周期函式,即f(x)=(x-2kπ)²,x∈[2kπ-π,2kπ+π],k=0,±1,±2,...
擴充套件之後的f(x)在整個數軸上連續,並且在一個週期[-π,π]上只有x=0一個極值點,即滿足傅立葉級數的收斂條件
∴在[-π,π]上f(x)的傅立葉級數就收斂至f(x)
f(x)是偶函式,所以可以為餘弦級數,計算傅立葉係數:
a0=2/π*∫x²dx=2/π*π³/3=2π²/3
an=2/π*∫x²cosnxdx,利用分部積分法
令x²=u,cosnxdx=dv,則du=2xdx,v=1/n*sinnx
於是∫x²cosnxdx=uv-∫vdu=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
對∫xsinnxdx再進行一次分部積分,令x=u,sinnxdx=dv,則du=dx,v=-1/n*cosnx
∫x²cosnxdx=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
=x²/n*sinnx-2/n*(-x/n*cosnx+1/n*∫cosnxdx)
=x²/n*sinnx+2x/n²*cosnx-2/n³*sinnx+c
把上下限代入得∫x²cosnxdx=2π/n²*cosnπ=(-1)^n*2π/n²
於是an=2/π*(-1)^n*2π/n²=(-1)^n*4/n²
∴f(x)=a0/2+∑(n=1→∞)ancosnx=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnx,x∈[-π,π]
f(x)在x=π處左連續,∴π²=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnπ
2π²/3=4∑(n=1→∞)1/n²
∑(n=1→∞)1/n²=2π²/(3*4)=π²/6
3樓：數學劉哥
計算方法不是唯一的，還可以利用傅立葉級數計算，這個問題叫巴塞爾問題，你搜一下會得到很多解答
高等數學，級數，請問這個積分的區間是怎麼定出來的，謝謝
4樓：匿名使用者
這個下限0不是從原式的∑n從0到無窮看出來的。
是取的，取的原則是：在問題中有意義、能解決問題、簡單數字。
另一個積分限取x才能使得積分得到的函式是x的函式。
比如說，若在[0，1]上積分，得到的是常數。
5樓：丫比
算完了就是關於x的函式，就這個意思
請問這個高數題怎麼做，請問這道高數題怎麼做？
y 3 x x 2 1 x 1 2 dy 3 3y 2 dy 3x 2 1 x 1 2 2 x 1 x 3 x x 1 4dx 3x 4 6x 3 3x 2 x 2 2x 1 2x 4 2x 2x 3 2x x 1 4dx x 4 4x 3 2x 2 2x 1 x 1 4dx x 1 x 3 3x ...
請問這道高數題怎麼做,請問這一道高數題怎麼做
已知bai級數條件收斂du 那麼級數一般項加zhi絕對值後的級數是發dao散的,原級數是收回斂的。答 1一般項加絕對值後的級數,先對一般項分子有理化 然後使用比較審斂法的極限形式,求n趨於無窮大下面的極限 說明這個級數與級數1 n的 k 1 2 次冪斂散性相同,根據已知條件這是個發散的p級數 所以k...
請問這道高數題怎麼做,請問這一道高數題怎麼做
在某一點出處連續,就要求在該該點的函式值等於極限值,求極限的時候運用了重要極限,過程如下圖 應補充定義f 0 1 故應選a。lim x 0 1 x 2 1 x 1 f 0 1 ans a 請問這道高數題怎麼做?這道bai高數du題做法見上圖。zhi1 第一問dao這道高數題做法 直接內用格林公容式。...