1樓：雪落花軒
目前公認的有三種幾何體系：
歐氏幾何、羅巴切夫斯機-鮑耶幾何、黎曼幾何，這三種幾何唯一的不同點就在於第五公設的不同。
歐氏幾何第五公設是指過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行。
而羅氏幾何則不同，它規定了過直線外一點有無數條直線與已知直線平行。這樣三角形的內角和也就小於180度。
黎曼從更高的角度統一了三種幾何,稱為黎曼幾何.在非歐幾何裡,有很多奇怪的結論.三角形內角和不是180度(黎曼幾何中三角形內角和大於180度),圓周率也不是3.
14等等.因此在剛出臺時,倍受嘲諷,被認為是最無用的理論.直到在球面幾何中發現了它的應用才受到重視.
空間如果不存在物質,時空是平直的,用歐氏幾何就足夠了.比如在狹義相對論中應用的,就是四維偽歐幾里得空間.加一個偽字是因為時間座標前面還有個虛數單位i.
當空間存在物質時,物質與時空相互作用,使時空發生了彎曲,這是就要用非歐幾何.
黎曼幾何是什麼樣？
2樓：
可以想象一下女生的裙子。曲面、流形的概念多
黎曼幾何空間是什麼？
黎曼幾何和微分幾何有什麼區別和聯絡
3樓：匿名使用者
簡單的說,黎曼幾何是微分幾何的一個特殊情況.
微分幾何的研究物件是一般的微分流形,黎曼幾何的研究物件是黎曼流形.
黎曼流形是一種特殊的微分流形,要求流形上存在黎曼聯絡,一般的微分流形上則沒有這樣的要求.
所以說,黎曼幾何比微分幾何的範圍要窄,也相對簡單一些.
4樓：治嚎囪蝦
兩平行線相交於無窮點以下為引用：“平行線公理”之爭的終結——黎曼幾何讓我們先來個邏輯推理：對於“過直線外一點可做其幾條平行線”？
歐氏幾何說，只能做一條；羅氏幾何說，至少可以做兩條（包括一組和無數）。那麼還剩什麼情況沒涉及到呢？很顯然，就是一條都不能做！
而有人沿著這個思路想下去，還真的又創立了一種“非歐幾何”。這個人叫“黎曼”，是德國數學家，所以這種幾何又被稱為“黎曼幾何”。2023年黎曼所作的《論幾何學作為基礎的假設》一文，是“黎曼非歐幾何”誕生的標誌。
那麼黎曼何以認為“過直線外一點一條該直線的平行線也做不出來”呢？這需要我們再回到球面。我在講羅氏幾何時，就不得不提前告訴大家，圓球上的“直線”是過球心的圓上的“大圓弧”，且這些“直線圓”都是相交的，並建議大家用兩根“赤道圓繩”在地球儀上比劃，以獲得鮮明、生動的“感性認識”。
（請參見41頁2027復“羅氏幾何可能在什麼“面”上實現？”）其實這一思想是黎曼的。這裡需要注意的是：
我們大家所熟悉的地球儀上的“緯線圈”可不是“球面直線”！亦即“緯線圈”及其“圓弧”不是“短程線”（或說“測地線”）。這是為什麼呢？
大家可以就著地球儀觀察一下，凡是“直線圓及其圓弧”，過其上任一點所做的圓球的切面，與這個直線圓或其圓弧都是“垂直”關係！這是球面“直線”和“直線圓”的突出特點。但緯線圈及其圓弧就無此特點了，你可以任意選一緯線（赤道除外），然後在其上任選一點，過該點做圓球的切面（用本書罩在這點上，使地球儀靠在這書上，就像地球儀靜放在桌面上的書上的狀態一樣即可。
這裡只不過移到了空中）。這時你就可明顯地發現，緯線圈與其有關“球切面（書）”是一種“斜交”關係，而非“垂直”關係。當然，“一段緯線”，即“緯線圓弧”，與其各點“球切面”的關係，亦是“斜交”，而非垂直關係。
因此緯線圈及其圓弧不是球面上的“直線”。——由此，旅行時，大家應選擇走“球面直線圓弧”（大圓弧），而不是“沿著緯線走”，這樣你才能真正走“捷徑”！沿著緯線走其實是“繞遠”、走了彎路了。
但“赤道”既是緯線又是球面直線圓，所以在赤道沿著赤道走是最短途徑，是走的“直線”。下面回到正題：正是由於球上“大圓弧”延長後都是有限、封閉的（都成“圓”），且任何兩個“球面直線圓”都相交，因此黎曼認為球面（如我們的“地球”，曾被看成“平面”）上其實無平行線可言，當然也就更談不到“過直線外一點作其一條或幾條平行線”了。
這樣關於歐氏幾何的“第五公設”，到了黎曼這裡，就變成“過直線外一點一條平行線都做不出來”了（這其實也是歐氏第五公設的一個“反命題”）！而“圓球”是“橢圓球”的特例，我們的地球實際就是個不規則的“橢球體”。關於圓球和各種橢球的關係如下：
橢球是一種二次曲面，是橢圓在三維空間的推廣。橢球在xyz-笛卡兒座標系中的方程是：其中a和b是赤道半徑（沿著x和y軸），c是極半徑（沿著z軸）。
這三個數都是固定的正實數，決定了橢球的形狀。如果三個半徑都是相等的，那麼就是一個球；如果有兩個半徑是相等的，則是一個類球面。球；扁球面（類似塊狀）；長球面（類似條狀）；不等邊橢球（“三條邊都不相等”）。
點(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。從原點到這三個點的線段，稱為橢球的半主軸。它們與橢圓的半長軸和半短軸相對應。
（摘自“維基百科”，請參見下圖）因此，黎曼由圓球得出的結論，可以推廣到“橢球”：過橢球心的“橢圓及其圓弧”乃橢球上的“短程線”或說“測地線”，亦即“橢球直線”。同樣這些“直線橢圓”也是相交關係，因此在橢球面上像在圓球面上一樣，也不存在平行線。
黎曼“無平行線”的新幾何提出後，大家一看，他說得有道理啊，“言之成理，持之有故”，可以很好地“自圓其說”，且比羅氏幾何好理解多了，直觀多了，於是很快便接受了“黎曼幾何”。而由於黎曼幾何適用於“橢球面”，所以黎曼幾何又被稱為“橢圓幾何”。
請問，如果要學習黎曼幾何，那麼需要什麼樣的理論基礎？
5樓：匿名使用者
黎曼幾何是比較難學的 要學習黎曼幾何先從基本的數學分析學起 黎曼幾何涉及的學科較多，但總體來說是以微分幾何為基礎。下面羅列出一些前置內容。 1.
基礎數學分析：高等數學 線性代數 空間解析幾何 2.微分幾何：
曲線和曲面論 外微分形式與活動標架 3.微分流形：張量分析 微分拓撲學 流形上的張量分析（廣義相對論必學） 以上是黎曼幾何的一些前置內容，學完以上即可正式進入黎曼幾何階段了。
希望採納
6樓：匿名使用者
微積分、線性代數、微分幾何、點集拓撲、流形。
為什麼相交線段平行 黎曼幾何 ，黎曼幾何為什麼相交線平行
兩平行線相交於無窮點 以下為引用 平行線公理 之爭的終結 黎曼幾何 讓我們先來個邏輯推理 對於 過直線外一點可做其幾條平行線 歐氏幾何說，只能做一條 羅氏幾何說，至少可以做兩條 包括一組和無數 那麼還剩什麼情況沒涉及到呢？很顯然，就是一條都不能做！而有人沿著這個思路想下去，還真的又創立了一種 非歐幾...
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