1樓：
是求1³+2³+...+n³?
至少有三種方法.
1. 由(n+1)^4-n^4 = 4n³+6n²+4n+1.
n^4-(n-1)^4 = 4(n-1)³+6(n-1)²+4(n-1)+1
(n-1)^4-(n-2)^4 = 4(n-2)³+6(n-2)²+4(n-2)+1
...2^4-1 = 4·1³+6·1²+4·1+1
求和得(n+1)^4-1 = 4s_3+6s_2+4s_1+n.
只要代入二次方和s_2與一次方和s_1的公式, 就能求出三次方和s_3的公式.
2. 首先有幾個恆等式:
1+2+...+n = n(n+1)/2. (可以裂項2k = k(k+1)-(k-1)k證明).
1×2+2×3+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3. (可以裂項3k(k+1) = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)證明).
1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4. (類似裂項證明).
n³ = n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n, 求和即得.
3. 圖形法. 考慮以1+2+...+n為邊長的正方形.
從左上角開始, 將圖形分割如下.
1 2 2 3 3 3 4 4 4 4
2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1個邊長1正方形, 1+(1/2)·2個邊長2正方形, 3個邊長3正方形, 3+(1/2)·2個邊長4正方形, ...
1³+2³+...+n³ = (1+2+...+n)² = n²(n+1)²/4.
除此之外還有待定係數加數學歸納法, 還有母函式方法等.
2樓：匿名使用者
當n=k+1時，
1^3+ 2^3+···+k^3+(k+1)^3=(1+2+3···+k)^2+(k+1)^3=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3 運用等差數列求和公式=(k+1)^2(k^2/4+k+1)
=(k+1)^2(k+1+1)^2/4 反用等差數列求和公式=(1+2+3+...+k+1)^2
三次方求和公式 是如何推導的
3樓：
是求1³+2³+...+n³?
至少有三種方法.
1. 由(n+1)^4-n^4 = 4n³+6n²+4n+1.
n^4-(n-1)^4 = 4(n-1)³+6(n-1)²+4(n-1)+1
(n-1)^4-(n-2)^4 = 4(n-2)³+6(n-2)²+4(n-2)+1
...2^4-1 = 4·1³+6·1²+4·1+1
求和得(n+1)^4-1 = 4s_3+6s_2+4s_1+n.
只要代入二次方和s_2與一次方和s_1的公式, 就能求出三次方和s_3的公式.
2. 首先有幾個恆等式:
1+2+...+n = n(n+1)/2. (可以裂項2k = k(k+1)-(k-1)k證明).
1×2+2×3+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3. (可以裂項3k(k+1) = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)證明).
1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4. (類似裂項證明).
n³ = n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n, 求和即得.
3. 圖形法. 考慮以1+2+...+n為邊長的正方形.
從左上角開始, 將圖形分割如下.
1 2 2 3 3 3 4 4 4 4
2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1個邊長1正方形, 1+(1/2)·2個邊長2正方形, 3個邊長3正方形, 3+(1/2)·2個邊長4正方形, ...
1³+2³+...+n³ = (1+2+...+n)² = n²(n+1)²/4.
除此之外還有待定係數加數學歸納法, 還有母函式方法等.
4樓：匿名使用者
解：(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1則 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+13^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+14^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1……………
∴ (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+4*(1+2+3+……+n)+n
移項並化簡得:1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
[1+2+3+...+n=(n+1)n/2，1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6]
自然數平方數列和立方數列求和公式怎麼推導
5樓：夢色十年
平方和的推導利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①
記sn=1²+2²+....+n²， tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
對①式從1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3sn+3tn+n
這就得到了sn=n(n+1)(2n+1)/6
類似地，求立方和利用4次方公式：
(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1
例如：2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1
3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1
4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中間步，將右邊第一項移到左邊得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1
3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1
4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
兩邊分別相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
擴充套件資料：
常見數列求和的方法：
1、公式法：
等差數列求和公式:
sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函式乘以等比的數列形式 、分別是等差數列和等比數列.
sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) cn=anbn tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qtn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) tn=上述式子/(1-q)
3、裂項法
適用於分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然後累加時抵消中間的許多項。
6樓：木沐淋
(1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
推導過程如下：
一、 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...
+n)n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
證明如下：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
故：1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
的三次方加減y的三次方等於多少，X的三次方加（減）Y的三次方等於多少
x 復3 y 3 x 3 x 2y y 2x yx 2 xy 2 y 3 x 2 x y xy y x y 2 x y x y x 2 xy y 2 兩數制的bai平方和du加上兩數的積再乘zhi以兩數的差，所得dao到的積就等於兩數的立方差。由於立方項不好拆分，但是我們學過，遇到高階項要儘量採用低...
a的三次方減去b的三次方等於什麼
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公式（a b）的三次方a的三次方 3a的平方b 3ab的平方 b的三次方，利用公式寫（a b）的三次方結果先轉化為
a b 先轉 復化為 a b 然 制後就可以套公式了。a b a b a 3a b 3a b b a 3a b 3ab b a的三次方 3a的平方b 3ab的平方 b的三次方 數學公式 a b 的3次方。原式 a b 2 a b a 2 2ab b 2 a b a 3 2a 2b ab 2 a 2b...