1樓：匿名使用者
因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，除法等。實際上經典例 2.
證明：對於任何數x,y，下式的值都不會為33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 就是把簡單的問題複雜化） 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括號 3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：
-3x^2+x=x(-3x+1）） 歸納方法：北師大版八下課本上有的 1、提公因式法。 2、公式法。
3、分組分解法。 4、湊數法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5、組合分解法。
6、十字相乘法。 7、雙十字相乘法。 8、配方法。
9、拆項法。 10、換元法。 11、長除法。
12、加減項法。 13、求根法。 14、圖象法。
15、主元法。 16、待定係數法。 17、特殊值法。
18、因式定理法。 編輯本段基本方法提公因式法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。當各項的係數有分數時，公因式係數的分母為各分數分母的最小公倍數，分子為各分數分子的最大公約數（最大公因數） 如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括號內的第一項的係數成為正數。
提出「-」號時，多項式的各項都要變號。 口訣：找準公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：
把2a+1/2變成2(a+1/4)不叫提公因式 公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 反過來為a^2-b^2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 反過來為a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。 兩根式：
ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a) 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)； 完全立方公式：
a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3． 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。
分解因式技巧 1。 2.分解因式技巧掌握：
①等式左邊必須是多項式； ②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示； ③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。
3.提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式並確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母； ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式； ③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。 編輯本段競賽用到的方法分組分解法 分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。 能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：
二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1.
5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。
2. x^3-x^2+x-1 解法：=(x^3-x^2)+(x-1) =x^2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x^2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然後相合輕鬆解決。
3. x^2-x-y^2-y 解法：=(x^2-y^2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。
十字相乘法 這種方法有兩種情況。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。
因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 例：x2-2x-8 =(x-4)(x+2) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+c)(dx+b)． 圖示如下：
a╲╱c b╱╲d 例如：因為 1 ╲╱2 -3╱╲ 7 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 拆項、添項法 這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。
要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)． 配方法 對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。
屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：
x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.
5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)． 應用因式定理 對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。
(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、對於係數全部是整數的多項式，若x=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數； 2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數 換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。 相關公式注意:
換元后勿忘還元. 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y^2+3y+2-12=y^2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x^2+x+5)(x2+x-2) =(x^2+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以參看右圖。 求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0， 則通過綜合除法可知，該方程的根為0.
5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)． 圖象法 令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與x軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。 例如在分解x^3 +2x^2-5x-6時，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6. 作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2 則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)． 主元法 先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
特殊值法 將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則 x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ． 注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值， 則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。 待定係數法 首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 相關公式=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以參看右圖。
雙十字相乘法 雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y為未知數，其餘都是常數 用一道例題來說明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：
這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。 解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 雙十字相乘法其步驟為：
①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)； ②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一個字母（如x）的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。 利用根與係數的關係對二次多項式進行因式分解 例：
對於二次多項式 ax^2+bx+c(a≠0) ax^2+bx+c=a[x^2+(b/a)x+(c/a)x]. 當△=b^2-4ac≥0時， =a(x^2-x1-x2+x1x2) =a(x-x1)(x-x2). 編輯本段多項式因式分解的一般步驟 ①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； ④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括：「先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。
」 幾道例題 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。 3.
．△abc的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：
∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△abc的三條邊， ∴a+2b+c>0． ∴a－c=0， 即a=c，△abc為等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：
-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)． 編輯本段四個注意 因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括號裡面分到「底」。 現舉下例 可供參考 例1 把－a2－b2+2ab+4分解因式。
解：－a2－b2+2ab+4=－（a2－2ab+b2－4）=－（a－b+2）（a－b－2） 這裡的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是正的。
防止學生出現諸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的錯誤 例2把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1） 這裡的「公」指「公因式」。
如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這裡的「1」，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括號內切勿漏掉1。 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。
其中包含提公因式要一次性提「乾淨」，不留「尾巴」，並使每一個括號內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2=y2（4x4－5x2－9）=y2（x2+1）（4x2－9）的錯誤。 考試時應注意：
在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了,有說明實數的話,一般就要化到整數！ 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：「先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適」等是一脈相承的。
x是不是分式？為什麼？若是分式貌似與分式定義不符，若不是，那麼這個代數式又屬於哪一類
因為這個式子下x能不能做除數不確定，所以說不是分式，因為有可能是0這樣式子就不成立，所以它只能貌似是分式 x 1 x x 1 x 分母有x，是分式。1 x 1是多項式還是單項式，還是分式？如果是分式，那麼分是怎麼理解？單項式指數字和字母的積 分母不能有字母 簡單來說沒有加號減號的就是 如2x 2 x...
分式的性質分式的性質是什麼？
1.定義 整式a除以整式b，可以表示成a b的形式 b 0 如果除式b中含有字母，那麼稱為分式 fraction 注 a b a 1 b 2.組成 在分式 中a稱為分式的分子，b稱為分式的分母。3.意義 對於任意一個分式，分母都不能為0，否則分式無意義。4.分式值為0的條件 在分母不等於0的前提下，...
分式是什麼分式的特徵是什麼？
分式的基本概念 i.定義 整式a除以整式b，可以表示成a b的形式。如果除式b中含有字母，那麼稱為分式 fraction 注 a b a 1 b ii.組成 在分式 中a稱為分式的分子，b稱為分式的分母。iii.意義 對於任意一個分式，分母都不能為0，否則分式無意義。iv.分式值為0的條件 在分母不...