怎麼區分換元法和湊微分法，做定積分的時候老是容易混

1樓：穆玄素湛德

^1=xarcsinx-∫x/[(1-x^2)^1/2]dx=xarcsinx+1/2*∫d(1-x^2)/[(1-x^2)^1/2]=xarcsinx+(1-x^2)^1/2+c

2∫e^xsin^2xdx=∫(1-cos2x)e^x/2dx=1/2[∫e^xdx-∫e^xcos2xdx]

下面著重求出第二項

∫e^xcos2xdx=∫cos2xd(e^x)=e^xcos2x+2∫e^xsin2xdx=e^xcos2x+2∫sin2xde^x

=e^xcos2x+2e^xsin2x-4∫e^xcos2xdx

移項得到

5∫e^xcos2xdx=e^xcos2x+2e^xsin2x

所以∫e^xcos2xdx=1/5(e^xcos2x+2e^xsin2x)

代入原式得到

∫e^xsin^2xdx=1/2[e^x-1/5(e^xcos2x+2e^xsin2x)]=e^x(1/2-1/10cos2x-1/5sin2x)+c

3原式=∫d(x+1)/[1+(x+1)^2]=arctan(x+1)|=π/2-(-π/2）=π

4原式=∫e^(-5/2)d[e^(x-1/2)]/[1+[e^(x-1/2)]^2]=e^(-5/2)arctan[e^(x-1/2)]

|=π/2*(e^(-5/2))

5原式=∫√sin^(3)x

(1-sin^(2)x)

dx=∫sin^(3/2)x

|cosx|dx

=∫sin^(3/2)x

cosxdx-∫sin^(3/2)x

cosxdx

=∫sin^(3/2)xdsinx-∫sin^(3/2)xdsinx

=2/5(sin^(5/2)x)|

-2/5(sin^(5/2)x)|

=4/5

6設t=1+√3x+1

，2

那麼x=1/3

[(t-1)^2-1]

所以dx=2/3

(t-1)

dt那麼

原式=2/3

∫[(t-1)/t]dt

=2/3

∫[(1-1/t)]dt

=2/3(t-lnt)

|=2-2/3

ln(5/2)

2樓：匿名使用者

這怎麼會混？

湊微分可是直接解，

換元的話積分變數都變了，

最後解完得還原的。

3樓：匿名使用者

其實換元和湊微分本質上差不多

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