1樓：上海韓進華律師
這道題可以運
來用錯位源相減法，bai
an = n(n+1)^2
= n(n+1)(n+2) - n(n+1)= (1/4)[ n(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2) ] -(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ]
sn=a1+a2+...+an
=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) - (1/3)n(n+1)(n+2)
=(1/12)n(n+1)(n+2)(3n+5)1x2^2+2x3^2+...+19x20^2=s19
=(1/12)(19)(20)(21)(62)=41230
希望對du
你有幫助，望zhi採dao納謝謝
2樓：匿名使用者
an = n(n+1)^2
= n(n+1)(n+2) - n(n+1)= (1/4)[ n(n+1)(n+2)(n+3) -(n-1)n(n+1)(n+2) ] -(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ]
sn=a1+a2+...+an
=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3) - (1/3)n(n+1)(n+2)
=(1/12)n(n+1)(n+2)(3n+5)1x2^2+2x3^2+...+19x20^2=s19
=(1/12)(19)(20)(21)(62)=41230
3樓：泥水盾構
把1寫成2-1，把2寫成3-1，依次，19為20-1.利用乘法分配律，得式變為：2的三次方一直加到20的三次方，再減去2的平方加到20的平方的和，利用三次方求和公式和二次方求和公式即可。
4樓：匿名使用者
sn=2³+3³+……（
版n+1）權³-（2²+3²+……（n+1）²）=1³+2³+3³+……（n+1）³-（1²+2²+3²+……（n+1）²）
=（（n+2）(n+1)/2)²-（n+1）(n+2)(2n+3)/6
s19=41230
1平方加2平方加3平方一直加到n平方等於多少
5樓：千山鳥飛絕
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
證明過程
：根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，則有：
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.·
·a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
6樓：我不是他舅
這個有一個專門的公式的
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到
7樓：明凱無敵瞎
我來一個不同的：sn=1²+2²+3²+……+n²sn是一個遞增函式，對sn求導=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是一個二次函式型，所以大膽猜測sn是一個三次函式型，於是假設sn=an³+bn²+**+d，把s1=1，s2=5，s3=14，s4=30代入sn得出四個方程式，求出sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把s5代入驗證是正確的！
但畢竟是猜的，所以要證明，證明方法如下：
當n=1時此等式成立，n=2時也成立。
假設當n=k時（n>1）也成立，即
sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需證明n=k+1時也成立即可，又sk+1-sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。
8樓：齊峰環境
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,在高中數學中是用數學歸納法證明的一個命題,沒有給出其直接的推導過程.其實,該求和公式的直接推導並不複雜,也沒有超出初中數學內容.
設：s=12+22+32+…+n2
另設：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2,此步設題是解題的關鍵,一般人不會這麼去設想.
有了此步設題,第一：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的
12+22+32+…+n2=s,(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以為(n2+2n+12)+(
n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+
12+22+32+…+n2,即
s1=2s+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以寫為：
s1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2,其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4s……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4s-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：s1=8s-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)與(4)得：2s+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8s-4(1+2+3+…+n)+n
即：6s= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
s= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：s=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然數平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6,其中n為最後一位自然數.
由(5)代入(2)得自然數偶數平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n為最後一位自然數.
由(5)代入(3)得自然數奇數平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1為最後一位自然數.
9樓：匿名使用者
1²+2²+3²+.+n²=n（
n+1)（2n+1）/6
證明如下：
（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
10樓：心動
^1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展資料：
推導公式 n－﹙n－1﹚＝3n－3n＋1，﹙n－1﹚－﹙n－2﹚＝3﹙n－1﹚－3﹙n－1﹚＋1 寫出1到n－1的式子，將這n－1個式子疊加得 n－1＝3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2﹚]－3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2]＋n－1 由此不難得出1＋2＋……﹙n－1﹚＝﹙n－1﹚n﹙2n－1﹚／6。
11樓：摩羯
^1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
若實數x，y滿足x的平方加上y的平方加上xy等於1，則x加y
解 等式兩邊都加xy，得到 x y 2 1 xy。因為 x y 2大於等於4xy，不等式的基本定律 所以 版1 xy大於等權於4xy，求得 xy小於等於三分之一，把xy小於等於三分之一代入 x y 2 1 xy，得 x y 2小於等於三分之四，求得 x y小於等於根號三分之四，即 x y小於等於三分...
的平方加上y的平方等於2a是什麼影象
x的平方加上y的平方等於2ax的影象是圓心在x軸上的圓。解 因為x 2 y 2 2ax，x 2 y 2 2ax 0 x 2 2ax a 2 y 2 a 2 x a 2 y 2 a 2 則 x a 2 y 2 a 2表示圓心為 a，0 半徑等於a的圓。影象如下。2014 萊蕪 已知二次函式y ax2 ...
將多項式（x的平方4）加上整式，讓它成為完全平方式請寫出滿足上式條件的整式
1 4x x 2 4 4x x 2 2 2 4x x 2 4 4x x 2 2 3 1 16 x 4 x 2 4 1 16 x 4 2 1 4 x 2 2 4x 4x 1 16x 4 將多項式 x的平方 4 加上一個整式，讓它成為完全平方式 x的平方 4，首先看，x的指數為2，顯然應該等於x加某個數...