正定矩陣一定是對稱矩陣嗎?但是二次型對應的矩陣即使不正定也是

2021-05-27 22:53:06 字數 5528 閱讀 1499

1樓:叢桂花申女

1、正定矩陣必須是對稱矩陣.

2、二次型對應的矩陣是有很多,這沒錯(只要對稱位置的元素和符合要求即可),但要求二次型對應的矩陣是對稱的。

不知適合你想知道的!!

正定矩陣一定是對稱矩陣嗎?

2樓:不是苦瓜是什麼

不一抄定是對稱的。

正定bai矩陣在實

數域上是du對稱矩zhi陣。在複數域上是厄米特矩陣(共軛dao對稱)。

因為正定矩陣在定義的時候就是要在厄米特矩陣的域內(實數域上是對稱矩陣)。

如果只是要求矩陣m有(x^t)mx>0,那麼任何矩陣m,只要其滿足a=(m+m^t)/2,且(x^t)ax>0,即可。例如,m=[1 -1;1 1] ,a=[1 0;0 1]。但如果m不是厄米特矩陣,一般不討論他的正定性。

例如:a=[1 1;-1,1]

這個矩陣滿足對於任意實非零向量向量x=(x1,x2),有x^tax>0,因此是正定的。

如果一個矩陣a是正定的,那麼對稱矩陣b=(a+a^t)/2也是正定的,這是判定一個實係數矩陣是否為正定矩陣的充要條件。

對於任意對稱矩陣b,我們可以對其進行卡氏分解。(請自行證明)

對於復係數矩陣,我們有b=(a+a*)/2為正定矩陣。

正定矩陣有以下性質:

(1)正定矩陣的行列式恆為正;

(2)實對稱矩陣a正定當且僅當a與單位矩陣合同;

(3)若a是正定矩陣,則a的逆矩陣也是正定矩陣;

(4)兩個正定矩陣的和是正定矩陣;

(5)正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。

3樓:北極雪

你的概念不清楚。實對稱矩陣是「母」概念。正定矩陣是「子」概念。

正定矩陣是實對稱矩陣的一種。實對稱矩陣還包括負定、半正定、半負定矩陣。你的問題就相當於問長女是不是子女。

4樓:雪後飛狐

對的。因為就是在對稱矩陣的範圍內討論一個矩陣是不是正定的。

5樓:匿名使用者

線性代數範圍內是的

這是因為矩陣的正定來自於二次型的正定

而二次型的矩陣都是對稱矩陣

6樓:zzllrr小樂

正定矩陣的定義就是講的對稱矩陣,

一般情況下,就應該是對稱矩陣。

如果不限制是對稱矩陣,來討論正定,當然也可以,但是這種情況不多見。

7樓:韓琦

正定矩陣一定是對稱矩陣對嗎?是的啊!

8樓:匿名使用者

線性代數考慮的範圍是實數正定的概念**於二次型故一般說來正定是實對稱矩陣(線性代數範圍)

9樓:匿名使用者

結論:正定矩陣在bai實du數域上是對

稱矩陣zhi。在複數域上是dao

厄米特矩陣(共軛內對稱)。

因為正定矩陣容在定義的時候就是要在厄米特矩陣的域內(實數域上是對稱矩陣)。

如果只是要求矩陣m有(x^t)mx>0,那麼任何矩陣m,只要其滿足a=(m+m^t)/2,且(x^t)ax>0,即可。例如,m=[1 -1;1 1] ,a=[1 0;0 1]。但如果m不是厄米特矩陣,一般不討論他的正定性。

10樓:

不一定是對稱的,例如:

a=[1 1;-1,1]

這個矩陣滿足對於任意實非零向量向量x=(x1,x2),有x^tax>0,因此是內正定的。

容如果一個矩陣a是正定的,那麼對稱矩陣b=(a+a^t)/2也是正定的,這是判定一個實係數矩陣是否為正定矩陣的充要條件。

對於任意對稱矩陣b,我們可以對其進行卡氏分解。(請自行證明)對於復係數矩陣,我們有b=(a+a*)/2為正定矩陣。

11樓:宇智波泡麵

有一門學科,叫「線性代數」,在這個框架下,認為正定矩陣一定是對稱矩陣。

還有一門學科,叫「矩陣論」,在這個框架下,認為正定矩陣不一定是對稱矩陣。

矩陣論可以視作線性代數的高階版。

正定矩陣一定是對稱矩陣嗎?但是二次型對應的矩陣即使不正定也是對稱的吧

12樓:大鋼蹦蹦

正定矩陣必須是對稱矩陣.

二次型對應的矩陣是有很多,這沒錯(只要對稱位置的元素和符合要求即可),但要求二次型對應的矩陣是對稱的。

13樓:匿名使用者

正定矩陣一定是對稱矩陣,二次型對應的矩陣即使不正定也是對稱的**性代數範圍內是正確的。因為矩陣的正定來自於二次型的正定,而二次型的矩陣都是對稱矩陣所以正定矩陣是對稱矩陣。

正定矩陣的行列式恆為正;實對稱矩陣a正定當且僅當a與單位矩陣合同,若a是正定矩陣,則a的逆矩陣也是正定矩陣,兩個正定矩陣的和作為正定矩陣。

正定矩陣一定是對稱矩陣嗎?

14樓:宣初陽紫靖

線性代數範圍內是的

這是因為矩陣的正定來自於二次型的正定

而二次型的矩陣都是對稱矩陣

15樓:昝悠雅廖憐

不一定是對稱的,例來如:自

a=[1

1;-1,1]

這個矩陣滿足對於任意實非零向bai

量向量x=(x1,x2),有x^tax>0,因du此是正zhi定的dao

。如果一個矩陣a是正定的,那麼對稱矩陣b=(a+a^t)/2也是正定的。

因為對於任意對稱矩陣b,我們可以對其進行卡氏分解。(請自行證明)

然而,正定矩陣一定是埃爾米特矩陣(自伴隨矩陣,也就是共軛對稱的矩陣)。

這是因為x*ax=(x*ax)*,因而可以推出x*ax為實數(這個命題是可逆的)。

因而,正定矩陣a一定能夠分解為b*b。

16樓:塔童彤楚昆

100%確定正定必須是對稱矩陣

原因只有一個:定義如此。

上面舉出的一些貌似不回

是對稱矩陣的「正定答矩陣」都是錯的,其錯誤在於「特徵值全為為正」為正定的充要條件本來就是由定義推導所致,前提還必須是對陣矩陣。點評的那個白痴,考研只考實矩陣好嗎?

我說的有錯?

正定矩陣是否一定是對稱陣

17樓:資源我的啊

正定矩陣不來一定是對稱陣,正自定矩陣在實數域上是對稱矩陣。

18樓:匿名使用者

100%確定正定必須是

對稱矩陣 原因只有一個:定義如此。 上面舉出的一些貌似不是對稱矩陣的「正定回矩陣」都是錯的,

答其錯誤在於「特徵值全為為正」為正定的充要條件本來就是由定義推導所致,前提還必須是對陣矩陣。點評的那個白痴,考研只考實矩陣好嗎? 我說的有錯?

19樓:匿名使用者

很有意義嗎? 考研會考元素為複數的矩陣,你搞笑嗎? 你看看上面那些人舉例的矩陣? 那些是正定的嗎?

20樓:匿名使用者

別這麼打擊人家,有些基礎概念容易暈,去好好看看吧。

正定矩陣為什麼是對稱矩陣?各位大蝦,能詳細說明一下麼!

21樓:l一

因為在複線性代數裡,制正定矩陣 有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數中,正定矩陣的性質類似復

數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性運算元是對稱正定雙線性形式,所以也是對稱矩陣。

正定矩陣的廣義定義:設m是n階方陣,如果對任何非零向量z,都有zmz> 0,其中z 表示z的轉置,就稱m正定矩陣。例如:

b為n階矩陣,e為單位矩陣,a為正實數。ae+b在a充分大時,ae+b為正定矩陣。(b必須為對稱陣)

正定矩陣的狹義定義:一個n階的實對稱矩陣m是正定的的條件是當且僅當對於所有的非零實係數向量z,都有zmz> 0。其中z表示z的轉置。

22樓:mk_偉偉

首先你x*mx要跟0比較,所復以x*mx必須是實數(x∈制c是bai複數域上的向量,du所以用x*mx,而不是x'mx)。任何矩陣都可以zhi寫dao成h+ik的形式(h、k是hermite矩陣),假設m=h+ik,x*mx=x*(h+ik)x=x*hx+ix*kx (1),hermite矩陣的特徵值都是實數,hermite矩陣的二次型也是實數(自己證吧,很簡單)。(1)要是實數,所以x*kx=0,k=0.

所以m=h也是hermite矩陣。所以說在複數域上正定矩陣必然是hermite矩陣(a=a*,a*就是a的共軛轉置)。

至於樓上說m= 1 1 ,那你把復向量x=(i,1)帶到x*mx裡面去試試看看等於多少,答案是一個復

-1 1

數,就不能跟0比較了唄,正定也就無從談起。

所以說,複數域上的正定矩陣一定是hermite矩陣。有疑問的可以問我,大家共同**。

23樓:匿名使用者

呵呵 電燈學的比較深, 太專業了, 反而把簡單的搞複雜了!

線性代數範圍內, 正定矩陣的前提就是對稱的

因為正定矩陣的定義**於正定二次型, 而二次型的矩陣是對稱矩陣

24樓:電燈劍客

正定矩陣不一定是實對稱陣或hermite陣,完全可以非對稱。

一般教材上只討論對稱正定陣版

,一方面對於二次型而言研權

究對稱陣比較方便而且足夠用了,另一方面非對稱的正定陣畢竟特徵值要複雜很多,不如對稱正定陣的性質好,所以普通教材上就不講了。

正定矩陣是否一定是對稱陣

25樓:丹溪藍終覓

矩陣不是實對稱矩陣,也存在二次型,只不過二次型矩陣不是原矩陣,是改造過的對稱矩陣。正定矩陣也就是正定二次型必須實對稱矩陣,但是可以改造成不是對稱矩陣。2023年超越135裡面就有一題關於改造的問題。

26樓:過範獨泓

很有意義嗎?

考研會考元素為複數的矩陣,你搞笑嗎?

你看看上面那些人舉例的矩陣?

那些是正定的嗎?

正定矩陣一定對稱嗎?請說明具體為什麼,出處?

27樓:代昆宇後吉

線性代數中的來

正定矩自

陣的定義來自正定二次型

同濟四版線性代數

p.136

定義10

設f(x)

=x^tax,

若對任何

x≠0都有

f(x)>0,則稱f

為正定二次型,

並稱對稱陣

a是正定的.

所以線性代數範圍的正定矩陣是對稱的

怎麼判斷一個矩陣是否為正定矩陣? 5

28樓:匿名使用者

正定矩陣的定義是從正定二次型來的

正定二次型的矩陣稱為正定矩陣,

對稱陣a為正定的充分必要條件是:a的特徵值全為正。

所以計算得到矩陣的特徵值,全部為正數就是正定矩陣

29樓:鈞姐幸福

看四邊相等,而是都是九十度

30樓:海瘋習習

矩陣不一定是對稱矩陣

正定矩陣一定是實對稱矩陣嗎,正定矩陣一定是對稱矩陣嗎?

不一定是對稱bai的。du 正定矩陣 zhi在實數dao域上是對稱矩陣。在複數域上是厄米特專矩陣 共軛對稱 屬 因為正定矩陣在定義的時候就是要在厄米特矩陣的域內 實數域上是對稱矩陣 如果只是要求矩陣m有 x t mx 0,那麼任何矩陣m,只要其滿足a m m t 2,且 x t ax 0,即可。例如...

正定矩陣是否一定是對稱陣,正定矩陣為什麼是對稱矩陣各位大蝦,能詳細說明一下麼

正定矩陣不來一定是對稱陣,正自定矩陣在實數域上是對稱矩陣。100 確定正定必須是 對稱矩陣 原因只有一個 定義如此。上面舉出的一些貌似不是對稱矩陣的 正定回矩陣 都是錯的,答其錯誤在於 特徵值全為為正 為正定的充要條件本來就是由定義推導所致,前提還必須是對陣矩陣。點評的那個白痴,考研只考實矩陣好嗎?...

與單位矩陣合同的矩陣一定是正定矩陣嗎

你說的什麼?如果與單位矩陣合同,肯定是正定矩陣。為什麼正定矩陣一定和單位矩陣合同?如下圖所示,希望能幫到大家。ps 無法旋轉,非常抱歉。正定矩陣的特徵值都是大於0的 而矩陣合同就是要 特徵值的正負性都相同 即同階的方陣 其正特徵值,負特徵值,零特徵值 三者的個數都相同 單位矩陣的特徵值都是1 那麼和...