1樓：匿名使用者
標準球座標
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = 2acosφ
由於內整個球面在容xoy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
利用球面座標計算下列三重積分∫∫∫ω(x^2+y^2+z^2)dv,其中ω為球體x2+y2+(z-
2樓：匿名使用者
答：32πa⁵/15
方法一：標準球座標
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = 2acosφ
由於整個球面在xoy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
方法二：廣義球座標
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = a
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0
剩下r² * r²就好算了
方法三：平移，其實跟廣義極座標一樣原理
x = u
y = v
z = a + w
dv = du***w
ω方程變為：u²+v²+w² = a²
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w
= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w
後面那個利用對稱性得結果為0，前面的可直接用球座標
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15
計算三重積分i=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)與z=2-x^2-y^2所圍成的閉區域
3樓：曉龍修理
結果為：
解題過程如下：
求三重積分閉區域的方法：
設三元函式f(x,y,z)在區域ω上具有一階連續偏導數，將ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n），體積記為δδᵢ，||t||=max，在每個小區域內取點f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)δδᵢ。
若該和式當||t||→0時的極限存在且唯一(即與ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，其中dv=dxdydz。
設三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上將區域ω任意分成n個子域δvi(i=123…，n）並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點。
果空間閉區域g被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在g上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。
先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。區域條件：對積分割槽域ω無限制；函式條件：對f（x,y,z）無限制。
先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。區域條件：
積分割槽域ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成函式條件：f（x，y）僅為一個變數的函式。
4樓：匿名使用者
第四題你的寫法是對的，答案應該不是16π/3
另外，你的做法並不是柱座標系計算，而是極座標計算，下面給出柱座標系的計算，你會發現最終答案和你是一樣的
第三題的列式是對的，具體計算沒細看
5樓：匿名使用者
選用柱座標表示：0≤θ≤2pi，0≤r≤1，r2≤θ≤2-r2，
計算三重積分∫∫∫ω（x^2+y^2）dv,其中ω是由曲面x^2+y^2=2z和z=2所圍成的閉區域
6樓：曉龍修理
^結果為：16π/3
解題過程如copy下：
解：原式=∫
<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫r^2dz (作柱面座標變換)
=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr
=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3
求函式積分的方法：
設f（x）是函式f（x）的一個原函式，我們把函式f（x）的所有原函式f（x）+c（c為任意常數）叫做函式f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=f（x）+c。
其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函式，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，c叫做積分常數，求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的實函式f（x），在區間[a，b]上的定積分。
若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在oxy座標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。
7樓：匿名使用者
^你做錯了，不能那麼轉換。
解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫專2/2,2>r^2dz (作柱面座標屬變換)
=2π∫
<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3。
計算三重積分xyzdxdydz，其中積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦
8樓：等待楓葉
三重積分xyzdxdydz的結果等於1/48。
解：因為積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦，
那麼積分域ω是一個球心在原點，半徑為1的球在第一掛限內的部分。
則可用球座標計算。其中（0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1）。
ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ
=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
=(((r^6)/6)︱[0,1])*(((1/4)sin⁴φ)︱[0,π/2])*(((1/2)sin²θ)︱[0,π/2])
=(1/6)*(1/4)*(1/2)
=1/48
即ω∫∫∫xyzdxdydz等於1/48。
擴充套件資料：
三重積分的計算方法
1、直角座標系法
適用於被積區域ω不含圓形的區域，且要注意積分表示式的轉換和積分上下限的表示方法。
（1）先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。
（2）先二後一法（截面法），先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。
2、柱面座標法
適用被積區域ω的投影為圓時，依具體函式設定，如設
x^2+y^2=a^2，x=asinθ，y=bsinθ。
區域條件：積分割槽域ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合。
函式條件：f（x,y,z）為含有與x^2+y^2相關的項。
3、球面座標系法
適用於被積區域ω包含球的一部分。
區域條件：積分割槽域為球形或球形的一部分，錐 面也可以；
函式條件：f（x,y,z）含有與x^2+y^2+z^2相關的項。
9樓：楊必宇
用球面座標：
f=x^2+y^2=(rsinφcosθ)^2+(rsinφsinθ)^2=r^2*sin^2(φ)。
|j|=r^2*sinφ，r∈[1,2]，φ∈[0,π/2]，θ∈[0,2π]。
原積分=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]f|j|dr。
=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]r^4*sin^3(φ)dr。
=2π*[(2^5-1)/2}*2/3=124π/3。
3、積分割槽域關於平面x=0對稱故元積分化為∫∫∫[ω]zdv。
這道題很複雜，要以z=1為界討論z的情況，如下圖：
t<1時，用平面z=t截ω得如下圖形：
不難求出圖形面積s(t)，f(t)=ts(t)。
同樣有f=ts(t)。
對t從0到1和從1到[3sqrt(17)-1]/4分別積分而後加和得到所要的答案。
計算三重積分∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz 其中 v 是由圓錐面 z=根號(x^2+y^2)與平面 z = 1 圍成的閉區域. 5
10樓：匿名使用者
v:｛0≤r≤,0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4∴∫∫∫v（x²＋y²）dxdydz
＝∫0到2π dθ∫0到π／4dφ∫0到1 r的四次方乘以sin³φ＝根號2／10π
我的天，太難打字了
11樓：戒貪隨緣
數學上的三重積分:三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域ω上,將區域任意分成n個子域δvi(i=1,2,3…,n)並以δvi表示第i個子域的體積.在δvi上任取一點(ξi,ηi,ζi),i從1到n作和σf(ξi,ηi,ζi)δvi.
如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y,z)在區域ω上的三重積分,記為∫∫∫f(x,y,z)dv,其中dv叫做體積元素。
三重積分的計算一般將原積分化為二重積分再計算.
約定:約定:∫[a,b]表示[a,b]上的定積分,∫∫[d]表示區域d上的二重積分.
原式=∫[0,1]dz∫∫[d](x^2+y^2)dxdy 其中d:x^2+y^≤z^2(z≥0)的平面區域
而∫∫[d](x^2+y^2)dxdy=∫[0,2π]dθ∫[0,z]r^3dr (極座標變換)
其中∫[0,z]r^3dr=(1/4)r^4|[0,z]=z^4/4
∫∫[d](x^2+y^2)dxdy =∫[0,2π](z^4/4)dθ
=(z^4/4)·2π
=(π/2)z^4
所以原式=∫[0,1]((π/2)z^4)dz
=(π/10)z^5|[0,1]
=π/10
利用球座標系求三重積分。求詳細過程
首先,根據奇偶對稱性直接可知原式 0。因為積分割槽域 關於xoy平面對稱,專而被積函式是z的奇屬函式,由 奇函式在對稱區間的積分為0 可知,原式 0。雖然另一位回答的的答案也是0,但是其過程完全錯誤。原因在於這是體積分,只有在積分割槽域表面才有x 2 y 2 z 2 1,積分割槽域內部此式並不成立,...
利用極座標計算二重積分x2y
換元x rcost,y rsint,所以原式 drdt,積分範圍t 0,45度 利用極座標計算二重積分 x 2 y 2 1 2 dxdy,d y x與y x 2所圍成。極座標方法 x rcos y rsin 1 x2 y2 1 r2cos2 r2sin2 1 r y x 4 y x2 rsin r2...
利用極座標計算二重積分中，的範圍如何確定
確定 的範圍的方法 看這個區域所在的象限範圍，解兩曲線的交點座標 x，y 後，角度 arctan y x 就可得到 的範圍。極座標 的變化都是從原點位置開始掃起的。注意角度必須是弧度制。一般分3種情況 1 原點 極點 在積分割槽域的內部，角度範圍從0到2 2 原點 極點 在積分割槽域的邊界，角度範圍...