1樓：譯出藍色の淚光
後一個數是前兩個數的和。繁分數分母總是大於1，所以的值總是小於1
而分子總是取先前的分母，除了第一次分子分母均是1時，值等於1/2，後來的值均大於1/2
而每次計算繁分數時，繁分數分母中的分母總是不變，分子總是先前分子與分母之和
這就完全符合斐波那契數列的規律
那麼這個最簡單的無窮連分數的值是多少呢？
也就是斐波那契數列連續兩項之比的極限是多少呢？
設：x=1/(1+1/(1+1/(1+...)))
顯然有：x=1/(1+x)
即：x^2+x-1=0
x=(√5-1)/2=0.618...(捨去負值)
這就是**分割比例，也是斐波那契數列連續兩項之比的極限
這就是樓主所說的：「越來越接近**比例」的原因。
所謂「隨n的增加，兩數之間的差距越來越小」，其實就是越來越接近極限嘛。
那為什麼「任意兩數不斷相加」都這樣呢？
**分割比例其實是個中外比的問題：
所謂中外比，就是分已知線段為兩部分，使其中一部分是全線段與另一部分的比例中項。
如果把較長的一段設為x，則較短的一段為1-x
所以，x^2=1*(1-x) 【其中「1」表示全線段】
即：x^2+x-1=0，與上面解最簡單的無窮連分數的方程完全一致
注意這裡的全線段用1來表示，這就是說求**分割比例與線段的實際長度無關
同樣道理，對於斐波那契數列的，如果考察的是前後兩項的比例
那麼，從哪兩個數開始相加，就是無所謂的了
因為總是兩個數中的大數與兩數和之比，這與**分割的中外比完全是一個意思
況且除了第一個比值還不是與「和」比之外，其他所有比值總是在0.5和1之間
如果開始的兩個數不相同，那麼：m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,...
可見還是按斐波那契數列規律在，當然這是大致理解，嚴格的證明要看相關資料
再想想看，如果斐波那契數列最開始兩個數是1和2呢？不同了吧。
還不是一樣，除少了第一項外，其他並沒有什麼不同。
如果開始的兩個數相同，那麼：m,m,2m,3m,...其實就是斐波那契數列，
只是每個數差個m倍而已，完全不影響連續兩項之比的值。而且從第3項開始，a前的係數恰好構成斐波那契數列；
從第2項開始，b前的係數恰好構成斐波那契數列；
於是，由斐波那契數列通項公式有：
第n個數a前的係數=(1/√5)*
第n個數b前的係數=(1/√5)*
所以第n個數（n≥3）為：
(1/√5)**a+(1/√5)**b。
2樓：戰無不勝
斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
第1項+第2項=第3項 1+1=2
第2項+第3項=第4項 1+2=3
第3項+第4項=第5項 2+3=5
第n-2項+第n-1項=第n項
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。
3樓：小屁孩的時光
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………
前兩個數相加等於本身，n+(n+1)=n+2
4樓：亜圊
1,1,2,3,5,8,13......
除了開始的1,1
任何一個數都等於前面兩個數的加和
5樓：匿名使用者
初始值是x(1)=1,x(2)=1。然後按下式遞迴: x(n)=x(n-1)+x(n-2)
6樓：
初始值是x(1)=1,x(2)=1。然後按下式遞迴: x(n)=x(n-1)+x(n-2);
列舉幾個值：1,1,2,3,5,8,13,21……
7樓：匿名使用者
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...............
a1=1,a2=1,a3=a1+a2,a4=a2+a3,..........
a(n+1)=a(n-1)+a(n)
斐波那契數列都有哪些規律
8樓：匿名使用者
斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），**矩形、**分割、等角螺線，十二平均律等。
合併圖冊(2張)
斐波那契數與植物花瓣3………………………
百合和蝴蝶花5……………………
藍花耬鬥菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花8………………………
翠雀花13………………………
金盞和玫瑰21……………………
紫宛34、55、89……………雛菊
斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。
葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
**分割
隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近**分割的數值0.6180339887..…
楊輝三角
將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=c(0,0)=1。
f⑵=c(1,0)=1。
f⑶=c(2,0)+c(1,1)=1+1=2。
f⑷=c(3,0)+c(2,1)=1+2=3。
f⑸=c(4,0)+c(3,1)+c(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=c(5,0)+c(4,1)+c(3,2)=1+4+3=8。
f⑺=c(6,0)+c(5,1)+c(4,2)+c(3,3)=1+5+6+1=13。
……f(n)=c(n-1,0)+c(n-2,1)+…+c(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
矩形面積
斐波那契數列與矩形面積的生成相關，由此可以匯出一個斐波那契數列的一個性質。
斐波那契數列前幾項的平方和可以看做不同大小的正方形，由於斐波那契的遞推公式，它們可以拼成一個大的矩形。這樣所有小正方形的面積之和等於大矩形的面積。則可以得到如下的恆等式：
質數數量
斐波那契數列的整除性與質數生成性
每2個連續的數中有且只有一個被2整除，
每3個連續的數中有且只有一個被3整除，
每4個連續的數中有且只有一個被5整除，
每5個連續的數中有且只有一個被8整除，
每6個連續的數中有且只有一個被13整除，
每7個連續的數中有且只有一個被21整除，
每8個連續的數中有且只有一個被34整除，
.......
我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是質數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契數列的質數無限多嗎？
尾數迴圈
斐波那契數列的個位數：一個60步的迴圈
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
進一步，斐波那契數列的最後兩位數是一個300步的迴圈，最後三位數是一個1500步的迴圈，最後四位數是一個15000步的迴圈，最後五位數是一個150000步的迴圈。
自然界中「巧合」
斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段「休息」時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝「休息」，老枝依舊萌發；此後，老枝與「休息」過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年「休息」。
這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的「魯德維格定律」。
另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬鬥菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣數目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個數目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的「優化方式」，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。
葉子的生長方式也是如此，對於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為「**角度」，因為它和整個圓周360度之比是**分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。
向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。2023年，兩位法國科學家通過對花瓣形成過程的計算機**實驗，證實了在系統保持最低能量的狀態下，花朵會以斐波那契數列長出花瓣。
數字謎題
三角形的三邊關係定理和斐波那契數列的一個聯絡：
現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小於1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
分析：由於形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大於第三邊，因此不構成三角形的條件就是存在兩邊之和不超過另一邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲儘可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數之和為143，與144相差1，因此可以取最後一段為56，這時n達到最大為10。
我們看到，「每段的長度不小於1」這個條件起了控制全域性的作用，正是這個最小數1產生了斐波那契數列，如果把1換成其他數，遞推關係保留了，但這個數列消失了。這裡，三角形的三邊關係定理和斐波那契數列發生了一個聯絡。
在這個問題中，144>143，這個143是斐波那契數列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最後的一個數上去，如果加到其他數上，就有3條線段可以構成三角形了。
影視作品中的斐波那契數列
斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，於是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達芬奇密碼》裡它就作為一個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》裡又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像**分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，並沒有深入理解研究。
在電視劇中也出現斐波那契數列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最後一道數學題~在fox熱播美劇《fringe》中更是無數次引用，甚至作為全劇宣傳海報的設計元素之一。
斐波那契數列
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斐波那契數列的公式推導，斐波那契數列的通項公式是什麼，及推導過程
規定第一個數是1，第二個是1第三個開始是 f x f x 2 f x 1 不能推導，這是定義出來的 斐波那契數列 1，1，2，3，5，8，13，21 如果設f n 為該數列的第n項 n n 那麼這句話可以寫成如下形式 f 1 f 2 1,f n f n 1 f n 2 n 3 顯然這是一個線性遞推數...
斐波那契數是什麼，什麼是斐波那契數列
首先介紹斐波那契數列，斐波那契數列的排列是 1,1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，依次類推下去，你會發現，它後一個數等於前面兩個數的和。在這個數列中的數字，就被稱為斐波那契數。2是第3個斐波那契數。現象 這個級數與大自然植物的關係極為密切。幾乎所有花朵的花瓣數都來自這個級數中...