1樓：諾諾百科
α1,α2,…αn線性無關，對任向量x
設x=t1 *αdu1+t2 *α2…+tn *αn它們組成的方程組的係數行列式不為0
故方程組有唯一解
任一n維向量可由它們表示
故它們可以線性表示單位向量
故與單位向量組等價
例如：證明：
1、充分性顯然，因為n+1個n維向量必定線性相關，所以a可由a1,a2,……,an線性表示。
2、必要性：因shu為a是任意n維向量，所以a可由a1,a2,……,an線性表示意味著a1,a2,……,an能表出整個n維空間。若a1,a2,……,an線性相關，則極大線性無關組個數少於n，所以n維空間可由少於n個向量線性表示，這與維數的定義矛盾。
2樓：匿名使用者
=> n+1個n維向量線性相關
所以對任一個n維向量β, 向量組α1,...,αn,β線性相關所以β可由 α組線性表示
<= 由已知n維基本向量組可由α組線性表示所以 r(n維基本向量組)<=r(α組)
即有 r(α組)=n
3樓：
證明:若任意n維向量都可以由α1，α2，……，αn線性表示則單位矩陣e的列向量組也能由它們線性表示，於是存在c使得.e=（e1，e2，……，en）=（α1，α2，……，αn）c
則n=r(e)<=r(α1，α2，……，αn）待續
a1,a2,…an是一組n維向量，證明：它們線性無關的充分必要條件是任一n維
4樓：匿名使用者
證明：充分性：若任一n維向量a都可以n維向量組a1,a2,…,an線性
表示,那麼,特別地,n維單位座標向量組也都可以由它們線性表示,又向量組a1,a2,…,an也可由n維單位座標向量線性表示,所以,向量組a1,a2,…,an與n維單位座標向量組等價,而n維單位座標向量組是線性無關組,
從而向量組a1,a2,…,an也是線性無關組.
必要性 若n維向量組a1,a2,…,an線性無關,又任意n+1個n維向量必線性相關,
設a是任一n維向量,則向量組a,a1,a2,…,an線性相關,故a可以由a1,a2,…,an線性表示.
5樓：宮爆白丁
證明 必要性
設a為任一n維向量
因為a1 a2 …… an線性無關而a1 a2 …… an a是n+1個n維向量是線性相關的
所以a能由a1 a2 …… an線性表示且表示式是唯一的
充分性 已知任一n維向量都可由a1 a2 …… an線性表示,
故單位座標向量組e1 e2 …… en能由a1 a2 …… an線性表示,
於是有n=r(e1 e2 …… en)≤r(a1 a2 …… an)≤n
即r(a1 a2 …… an)=n所以a1 a2 …… an線性無關
線性代數證明題，證明n維向量組α1，α2，……αn線性無關的充分必要條件是，任一n維向量α都可以由
6樓：數學好玩啊
證明：1）充bai
分性顯然，因為
dun+1個n維向量必定線性
相關zhi，所以daoa可由a1,a2,……,an線性表示版2）必要性：因為權a是任意n維向量，所以a可由a1,a2,……,an線性表示意味著a1,a2,……,an能表出整個n維空間。若a1,a2,……,an線性相關，則極大線性無關組個數少於n，所以n維空間可由少於n個向量線性表示，這與維數的定義矛盾。
7樓：匿名使用者
噗噗，上學期掛了，看見就噁心
證明：n維向量組a1,a2.....an線性無關的充分必要條件是任意n維向量都可以表示為a1,a2....an的線性組合。
8樓：匿名使用者
必要性:
a1,a2,...an線性無關
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 對任一n維向量b, (a1,a2,...an)x = b 有解=> 任一n維向量b都可被a1,a2,...an線性表示充分性:
因為任一n維向量都可被a1,a2,...an線性表示所以n維基本向量組ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an線性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).
所以 a1,a2,...an 線性無關.
9樓：匿名使用者
先證必要性（前推後），因為任意n+1個n維向量必線性相關。所以任意向量b與a1...an相關。
存在不完全為0的n+1個數k1...kn,kn+1.使得k1*a1+...
kn*an+kn+1*b=0；若kn+1=0，a1...an相關，矛盾，所以kn+1不等於0.即b可以被a1...
an線性表出。即表示維a1...an德線性組合。
充分性，n維單位向量e1...en可以被a1...an線性表出。
a1...an也可以被e1...en線性表出。
所以他們等價。所以a1...an的秩為n。
所以a1...an線性無關。證畢。
10樓：匿名使用者
證明 必要性
設a為任一n維向量
因為a1 a2 ……an線性無關
而a1a2 ……ana是n+1個n維向量
是線性相關的
所以a能由a1· a2······an線性表示且表示式是唯一的
充分性 已知任一n維向量都可由a1 a2……an線性表示,故單位座標向量組e1e2……en能由a1a2 …… an線性表示,於是有n=r(e1e2……en)≤r(a1a 2…… an)≤n即r(a1 a2…… an)=n
所以a1 a2 …… an線性無關
山財的吧。。。。
自己做，小心給你零分
證明n維向量組a1，a2，…，an線性無關的充分必要條件是：任一n維向量a都可以由它們線性表示。
11樓：閒庭信步
證明：充分性：若任一n維向量a都可以n維向量組a1，a2，…，an線性表示，
那麼，特別地，n維單位座標向量組也都可以由它們線性表示，又向量組a1，a2，…，an也可由n維單位座標向量線性表示，所以，向量組a1，a2，…，an與n維單位座標向量組等價，而n維單位座標向量組是線性無關組，
從而向量組a1，a2，…，an也是線性無關組。
必要性 若n維向量組a1，a2，…，an線性無關，又任意n+1個n維向量必線性相關，
設a是任一n維向量，則向量組a,a1，a2，…，an線性相關，故a可以由a1，a2，…，an線性表示。
證明α1,α2,…αn線性無關充分必要條件是任一n維向量都可以由它們線性表示
12樓：陳
必要性：α1,α2,…αn線性無關，對於任一n維向量x，設x=t1 *α1+t2 *α2,…+tn *αn那麼它們組成的方程組的係數行列式不為0， ，那麼通過方程組的理論你可以知道 方程組有解，且解唯一 。
充分性：任何一個n維向量可以由它們線性表示，那麼它們可以線性表示 e_1，e_2。。。e_n（單位向量） 那麼顯然它們可以由 e_1，e_2。。。
e_n 線性表示 故兩個向量組等價 ，所以它們也線性無關
證明 n維向量組a1,a2an線性無關的充分必要條
必要性 a1,a2,an線性無關 a1,a2,an 0 對任一n維向量b,a1,a2,an x b 有解 任一n維向量b都可被a1,a2,an線性表示充分性 因為任一n維向量都可被a1,a2,an線性表示所以n維基本向量組 1,2,n可由a1,a2,an線性表示 所以 n r 1,2,n r a1,...
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