1樓:西瓜
大學學微分、積分有很大用處。 在研究函式影象的斜率和函式影象的變化時要用。
2樓:tattop8燎
判斷函式單調性。極值,求切線方程,望採納
數學中導數的實質是什麼?有什麼實際意義和作用?
3樓:暴走少女
1、導數的實質:
導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話,函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。例如在運動學中,物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。
2、幾何意義:
函式y=f(x)在x0點的導數f'(x0)的幾何意義:表示函式曲線在點p0(x0,f(x0))處的切線的斜率(導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率)。
3、作用:
導數與物理,幾何,代數關係密切:在幾何中可求切線;在代數中可求瞬時變化率;在物理中可求速度、加速度。
導數亦名紀數、微商(微分中的概念),是由速度變化問題和曲線的切線問題(向量速度的方向)而抽象出來的數學概念,又稱變化率。
擴充套件資料:
一、導數的計算
計算已知函式的導函式可以按照導數的定義運用變化比值的極限來計算。在實際計算中,大部分常見的解析函式都可以看作是一些簡單的函式的和、差、積、商或相互複合的結果。只要知道了這些簡單函式的導函式,那麼根據導數的求導法則,就可以推算出較為複雜的函式的導函式。
二、導數與函式的性質
1、單調性
(1)若導數大於零,則單調遞增;若導數小於零,則單調遞減;導數等於零為函式駐點,不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。
(2)若已知函式為遞增函式,則導數大於等於零;若已知函式為遞減函式,則導數小於等於零。
2、凹凸性
可導函式的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函式的導函式在某個區間上單調遞增,那麼這個區間上函式是向下凹的,反之則是向上凸的。
如果二階導函式存在,也可以用它的正負性判斷,如果在某個區間上恆大於零,則這個區間上函式是向下凹的,反之這個區間上函式是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。
4樓:匿名使用者
數學中導數的實質是瞬間變化率,在函式曲線中表示在某點切線的斜率,在物理位移時間關係中表示瞬時速度,在速度時間關係中表示瞬時加速度,在經濟中可以表示邊際成本。
導數(derivative)是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f(x)的自變數x在一點x0上產生一個增量δx時,函式輸出值的增量δy與自變數增量δx的比值在δx趨於0時的極限a如果存在,a即為在x0處的導數,記作f'(x0)或df/dx(x0)。
導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話,函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導數的本質是通過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。例如在運動學中,物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。
5樓:濂溪之子
導數(derivative)是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時,因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時,稱這個函式可導或者可微分。
可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程,導數的四則運演算法則**於極限的四則運演算法則。
亦名紀數、微商,由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數學概念。又稱變化率。
如一輛汽車在10小時內走了 600千米,它的平均速度是60千米/小時,但在實際行駛過程中,是有快慢變化的,不都是60千米/小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況,可以縮短時間間隔,設汽車所在位置s與時間t的關係為s=f(t),那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0],當 t1與t0很接近時,汽車行駛的快慢變化就不會很大,平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內的運動變化情況 ,自然就把極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度,這就是通常所說的速度。一般地,假設一元函式 y=f(x )在 x0點的附近(x0-a ,x0 +a)內有定義,當自變數的增量δx= x-x0→0時函式增量 δy=f(x)- f(x0)與自變數增量之比的極限存在且有限,就說函式f在x0點可導,稱之為f在x0點的導數(或變化率)。
若函式f在區間i 的每一點都可導,便得到一個以i為定義域的新函式,記作 f',稱之為f的導函式,簡稱為導數。函式y=f(x)在x0點的導數f'(x0)的幾何意義:表示曲線l 在p0〔x0,f(x0)〕 點的切線斜率。
一般地,我們得出用函式的導數來判斷函式的增減性的法則:設y=f(x )在(a,b)內可導。如果在(a,b)內,f'(x)>0,則f(x)在這個區間是單調增加的。。
如果在(a,b)內,f'(x)<0,則f(x)在這個區間是單調減小的。所以,當f'(x)=0時,y=f(x )有極大值或極小值,極大值中最大者是最大值,極小值中最小者是最小值。
導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率。
(1)求函式y=f(x)在x0處導數的步驟:
1 求函式的增量δy=f(x0+δx)-f(x0)
2 求平均變化率
3 取極限,得導數。
(2)幾種常見函式的導數公式:
1 c'=0(c為常數函式);
2 (x^n)'= nx^(n-1) (n∈q);
3 (sinx)' = cosx;
4 (cosx)' = - sinx;
5 (e^x)' = e^x;
6 (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數)
7 (inx)' = 1/x(ln為自然對數)
8 (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等於1)
補充一下。上面的公式是不可以代常數進去的,只能代函式,新學導數的人往往忽略這一點,造成歧義,要多加註意。
(3)導數的四則運演算法則:
1(u±v)'=u'±v'
2(uv)'=u'v+uv'
3(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
(4)複合函式的導數
複合函式對自變數的導數,等於已知函式對中間變數的導數,乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。
導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻!
導數的應用
1.函式的單調性
(1)利用導數的符號判斷函式的增減性
利用導數的符號判斷函式的增減性,這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用,它充分體現了數形結合的思想.
一般地,在某個區間(a,b)內,如果>0,那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞增;如果<0,那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞減.
如果在某個區間內恆有=0,則f(x)是常函式.
注意:在某個區間內,>0是f(x)在此區間上為增函式的充分條件,而不是必要條件,如f(x)=x3在內是增函式,但.
(2)求函式單調區間的步驟
1確定f(x)的定義域;
2求導數;
3由(或)解出相應的x的範圍.當f'(x)>0時,f(x)在相應區間上是增函式;當f'(x)<0時,f(x)在相應區間上是減函式.
2.函式的極值
(1)函式的極值的判定
1如果在兩側符號相同,則不是f(x)的極值點;
2如果在附近的左側,右側,那麼,是極大值或極小值.
3.求函式極值的步驟
1確定函式的定義域;
2求導數;
3在定義域內求出所有的駐點,即求方程及的所有實根;
4檢查在駐點左右的符號,如果左正右負,那麼f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那麼f(x)在這個根處取得極小值.
4.函式的最值
(1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值(或最小值)是在(a,b)內一點處取得的,顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值),它是f(x)在(a,b)內所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的),但是最值也可能在〔a,b〕的端點a或b處取得,極值與最值是兩個不同的概念.
(2)求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟
1求f(x)在(a,b)內的極值;
2將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
5.生活中的優化問題
生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題稱為優化問題,優化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非常現實的意義.這些問題通常可以轉化為數學中的函式問題,進而轉化為求函式的最大(小)值問題.
6樓:匿名使用者
說的直接一點,就是函式影象上的一點的斜率值....其實我覺得真的該多看看教材,教材上很明白的,如果是理科生,就從極限那一章看起走;如果是文科生,現在可以先暫時不管,高考完的時候再看,可能會好些,因為大學裡面的高數會用到,而且很頻繁.
至於意義嘛,你上了大學就知道了,應該說,在你周圍的方方面面都有它的存在..
7樓:匿名使用者
這個很難說,最好自己找相關的書 去看。只能說意義深遠,它的出現讓數學邁了一大步。
數學裡面的導數,到底有什麼用
8樓:紀念時崎狂三
科研用。應該是為微分做路基吧,因為後面的計算基本都是要用微分,物理也要用微分
9樓:府士恩齋詩
可以求函式在某點的切線
.單調性...對以後的定積分和不定積分都有幫助
10樓:卷儉毛儀
函式某點的導數值表示該點函式切線的斜率
導數的用處很大,對於某曲線的性質,很多都靠導數研究從很初等的數學就能接觸到函式的單調性,求函式的極值(也能求最值)到求曲線圍成的面積(定積分也和導數直接相關)物理中求位移就是應用,一直到各種微積分裡的定理,幾乎離不開導數
學導數有什麼實際用
11樓:匿名使用者
導數概念是微積分的基本概念之一,它有著豐富的實際背景。教科書選取了兩個典型的變化率問題,從平均變化率到瞬時變化率定義導數。在此基礎上,教科書藉助函式圖象,運用觀察與直觀分析闡明瞭曲線的切線斜率和導數間的關係。
同時,教科書還注重滲透和展現其中蘊含的豐富思想,如逼近、以直代曲等。
12樓:匿名使用者
最基本的就是計算不規則圖形的面積
學線性代數有什麼用,線性代數到底有什麼用
線性代數是 復現代科學的基礎之制 一,沒有它,就沒有各種工程技術的演進,電子計算機 網際網路更不知道要等多少年才會出現。當然,對於普通學生來講,學線性代數,主要是為了鍛鍊邏輯推理,及瞭解和掌握相對基礎的現代科學思維模式。線性代數到底有什麼用?線性代數 在數學 物理學和技術學科中有各種重要應用,因而它...
數學到底有什麼用數學有什麼用，數學有什麼用
作為一個日後不想以數學或者工程師或者精算師為職業的人來說，數學究竟何用呢？誠實的說，譬如三角，三角變換，微積分等等數學知識，一般人的生活和工作的確用不上，但並不能因此就說，這些東西學來無用。其實許多知識的所謂 用 跟數學一樣，是一種 無用之用 是作為一個思維方式健全的人所必備的知識體系之一。因為有了...
學歷，學歷到底有什麼用，提升學歷到底有什麼用處
北大整體畢業的 肯定比你一個 省屬院校素質高得多 這是毋庸置疑的 所以他通過這個過程 學歷的篩選 把你初級 選擇人才的選擇成本 給降低了 當然有用，公司 事業單位等招錄沒有學歷進不去。學歷不完全等於能力，但是學歷是一個必要非充分條件。如果你能力非常強，自己創業吧，這個不需要學歷的！沒有北大 清華等名...