1樓:凌月霜丶
證明:f(x,y)=|xy| 在點(0,0)處連續,fx(0,0)與fy(0,0)存在,在(0,0)處不可微.
f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)可微,且f(x)導數的絕對值小於1,f(0)=f(1)=0
2樓:山野田歩美
反證法,假
bai定在[0,1]有兩du
個點a,b(azhi|f(b)-f(a)|dao>0.5
根據內拉格朗日中值定理,容在(a,b)中存在點c使得f(b)-f(a)=(b-a)*f'(c)
即有:|f(b)-f(a)|=(b-a)*|f'(c)|>0.5
已知|f'(c)|<1,所以必須:b-a>0.5 (後面要用這個結論)
再兩次利用拉格朗日中值定理:
在(0,a)中存在d使得:f(a)-f(0)=a*f'(d)
在(b,1)中存在e使得:f(1)-(b)=(1-b)*f'(e)
兩式相加並利用f(0)=f(1)得:f(a)-f(b)=a*f'(d) + (1-b)*f'(e)
根據絕對值不等式得:|f(a)-f(b)|≤a*|f'(d)| + (1-b)*|f'(e)|
因為|f'(d)|和|f'(e)|都<1,所以得:|f(a)-f(b)|0.5,所以:a+(1-b)=1-(b-a)<0.5
即:|f(a)-f(b)|<0.5
這與反證法假設矛盾
證畢這個題太精彩了
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