1樓：塗智華
二重積分中的被積函式應該是被積區域中每一個點的函式，而如果只與某一個變數有關，說明另一個變數為常量，相當於半常函式，當做一般的二元函式求積分即可。正所謂常函式，它也是變數的函式，往往求解更加簡單。從圖形來看，常變數說明沿著該方向變化是水平平行的
關於重積分和曲線曲面積分的區別 我有的時候分不清一個積分是曲線還是曲面積分怎麼辦。。求大神講解～最
2樓：匿名使用者
都是遞進關係，從一重積分開始，只說幾何意義吧。
一重積分(定積分)：只有一個自變數y = f(x)
當被積函式為1時，就是直線的長度(自由度較大)
∫(a→b) dx = l(直線長度)
被積函式不為1時，就是圖形的面積(規則)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面積)
另外，定積分也可以求規則的旋轉體體積，分別是
盤旋法(disc method)：v = π∫(a→b) f²(x) dx
圓殼法(shell method)：v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
計算方法有換元積分法，極座標法等，定積分接觸得多，不詳說了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]² dθ = a(極座標下的平面面積)
二重積分：有兩個自變數z = f(x，y)
當被積函式為1時，就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時，就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換：
則∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
= ± ∫∫_(d) dxdy
取上/右/前 側時，取 + 號
取下/左/後 側時，取 - 號
3：高斯公式
∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
= ± ∫∫∫_(ω) (∂p/∂x+∂q/∂y+∂r/∂z) dxdydz
- ∫_(σ和) pdydz+qdzdx+rdxdy
後面(σ和)那部分，若原本給的曲面是不能圍成封閉空間的話，不能直接使用高斯公式，需要補上幾個面後使得區域封閉，例如補上若干個(σ和)曲面，就可以運用高斯公式了，還要注意最後要減少所補上那幾個曲面(σ和)相應的積分
4：挖洞
若在σ上，被積函式上有奇點的話，也不能直接運用高斯公式
需要補上一個小空間r=ε，足以包括所有內部的奇點的，然後取半徑ε趨向0
運用高斯公式時也要減去這個部分相應的積分
所以有∫∫_(σ) = ± ∫∫∫_(ω) - ∫∫_(ε)
5：替代
若被積函式f的方程是在σ上，則可以優先把σ的方程代入f中
例如給σ方程：x²+y²+z²=a²
則∫∫_(σ) (pdydz+qdzdx+rdxdy)/√(x²+y²+z²)
= ∫∫_(σ) (pdydz+qdzdx+rdxdy)/a
= (1/a)∫∫_(σ) pdydz+qdzdx+rdxdy
於是這樣，就可以避免了4：的情況，不用挖洞
去掉奇點後就可以繼續補面使用高斯公式了
二重積分，三重積分的幾何意義？ 怎麼理解這些概念啊？？？求大神幫忙，感激不盡 20
3樓：援手
二重積分的積分割槽域是平面區域d，被積函式f(x,y)表示高度，所以二重積分可理解為以d為底，高為f(x,y)的曲頂柱體的體積，特別的，當f(x,y)=1時，積分就等於d的面積。類似的，三重積分的積分割槽域是空間區域，被積函式f(x,y,z)可理解為密度，所以三重積分的物理意義就是立體的質量，特別的，當f(x,y,z)=1時，積分就等於立體體積。
4樓：陵家四少
- -|||聯想記憶，基礎概念你看懂了吧！一個平面一個空間……二重就是被打扁了的三重。
就像動漫裡的二次元一樣，路飛再怎麼活躍也不可能一拳打中坐在電腦前的你。而三重就類似於你朝你女朋友叫一句：肥婆！
他就會衝過來踹死你一樣- }}}
總之三重是體積，是立體的
但願你能懂- -|||
5樓：匿名使用者
可以理解為面積分和體積分
求數學大神，這個結論如何理解如何用幾何意義理解。。他是定理嗎？
6樓：援手
這個當然是一個定理了，它為計算某些特殊情況下的二重積分帶來了方便。對於一般的二重積分∫∫f(x,y)dxdy，我們通常是化為累次積分∫[∫f(x,y)dx]dy來計算的，這裡如果有f(x,y)=f1(x)f2(y)（不是所有二元函式都可以表示為這種形式的，例如sin(xy)就不可以），那麼由於f2(y)對於積分變數x而言是常數，可以拿到積分號為，剛才的累次積分就變為∫f2(y)[∫f1(x)dx]dy，注意這個表示式還是和∫f1(x)dx*∫f2(y)dy不一定相等的，以為前者在計算對x的積分時積分限裡一般是含y的表示式，只有x的積分限是與y無關的（也就是上下限都是常數），二者才相等。因此對於積分割槽域d為矩形區域，被積函式是可分離變數的，這樣的二重積分∫∫f(x,y)dxdy才等於兩個定積分∫f1(x)dx和∫f2(y)dy的乘積。
這個定理的幾何意義是明顯的，對於矩形區域上以曲面z=f(x,y)=f1(x)f2(y)為頂的曲頂柱體，其體積就等於兩個曲邊梯形面積∫f1(x)dx和∫f2(y)dy之積。
利用二重積分的幾何意義，計算二重積分。希望大神給出詳細的計算步驟。謝謝！！！
7樓：匿名使用者
c8177f3e6709c93df36a0b06943df8dcd00054a2<\/img>如圖
簡述我們所學積分(定積分,二重三重積分,第一類第二類曲線積分)的聯絡和區別
8樓：匿名使用者
我把我以前答過的那篇文章拿出來了。
一重積分(定積分)：只有一個自變數y = f(x)
當被積函式為1時，就是直線的長度e68a8462616964757a686964616f31333339666639(自由度較大)
∫(a→b) dx = l(直線長度)
被積函式不為1時，就是圖形的面積(規則)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面積)
另外，定積分也可以求規則的旋轉體體積，分別是
盤旋法(disc method)：v = π∫(a→b) f²(x) dx
圓殼法(shell method)：v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
計算方法有換元積分法，極座標法等，定積分接觸得多，不詳說了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]² dθ = a(極座標下的平面面積)
二重積分：有兩個自變數z = f(x，y)
當被積函式為1時，就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時，就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ
三重積分：有三個自變數u = f(x，y，z)
被積函式為1時，就是體積、旋轉體體積(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = v(旋轉體體積)
當被積函式不為1時，就沒有幾何意義了，有物理意義等
計算方法有直角座標法、柱座標切片法、柱座標投影法、球面座標法、雅可比換元法等
極座標變化(柱座標)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ
極座標變化(球座標)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大範圍：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ
所以越上一級，能求得的空間範圍也越自由，越廣泛，但也越複雜，越棘手，而
且限制比上面兩個都少，對空間想象力提高了。
重積分能化為幾次定積分，每個定積分能控制不同的伸展方向。
又比如說，在a ≤ x ≤ b裡由f(x)和g(x)圍成的面積，其中f(x) > g(x)
用定積分求的面積公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升級的二重積分，面積公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被積函式變為1了
用不同積分層次計算由z = x² + y²、z = a²圍成的體積？
一重積分(定積分)：向zox面投影，得z = x²、令z = a² --> x = ± a、採用圓殼法
v = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
二重積分：高為a、將z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²
所以就是求∫∫(d) (x² + y²) dxdy、其中d是x² + y² = a²
v = ∫∫(d) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、這步你會發覺步驟跟一重定積分一樣的
= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
三重積分：旋轉體體積，被積函式是1，直接求可以了
柱座標切片法：dz：x² + y² = z
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→a²) dz ∫∫dz dxdy
= ∫(0→a²) πz dz
= π • [ z²/2 ] |(0→a²)
= πa⁴/2
柱座標投影法：dxy：x² + y² = a²
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr
= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)
= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]
= πa⁴/2
三重積分求體積時能用的方法較多，就是所說的高自由度。
既然都說了這麼多，再說一點吧：
如果再學下去的話，你會發現求(平面)面積、體積 比 求(曲面)面積的公式容易
學完求體積的公式，就會有求曲面的公式
就是「曲線積分」和「曲面積分」，又分「第一類」和「第二類」
當被積函式為1時，第一類曲線積分就是求弧線的長度，對比定積分只能求直線長度
∫(c) ds = l(曲線長度)
被積函式不為1時，就是求以弧線為底線的曲面的面積
∫(c) f(x，y) ds = a(曲面面積)
當被積函式為1時，第一類曲面積分就是求曲面的面積，對比二重積分只能求平面面積
∫∫(σ) ds = a(曲面面積)、自由度比第一類曲線積分大
∫∫(σ) f(x，y，z) ds，物理應用、例如曲面的質量、重心、轉動慣量、流速場流過曲面的流量等
而第二類曲線積分/第二類曲面積分以物理應用為主要，而且是有"方向性"的，涉及向量範圍了。
二重積分或是三重積分的被積函式有什麼幾何意義？或是什麼含義
二重積分 在空間直角座標系中，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f x，y 的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。二重積分和定積分一樣不是函式，而是一個數值。因此若一個連續函式...
畫出積分割槽域,並計算二重積分,二重積分畫出積分割槽域,並計算該二重積分。
你畫的積分割槽域沒 bai錯,但是並 du不是關於y軸對稱,而是zhi關於daoy 1對稱,在極座標中,實際上就是內關於 容 0對稱,而xy這一部分化為極座標後為 rcos rsin 是關於 的奇函式,積分後為偶函式,在對稱區間的積分為0,所以這一部分積分為0.換句話說,本題中,關於y 1對稱,實際...
二重積分當積分割槽域關於xoz面對稱如果被積函式關於y是奇函式，則積分的值為零這是為什麼
看奇函式的性質，y在xoz面兩邊，正部 負部正好是0 高等數學中的函式如何學習 要學好高等數 學的函式，首先了解高等數學的特點。高等數學有三個顯著的特點 高度的抽象性 嚴謹的邏輯性 廣泛的應用性。1 高度的抽象性 數學的抽象性在簡單的計算中就已經表現出來。我們運用抽象的數字，卻不是每次都把它們同具體...