1樓：匿名使用者
原式=-1/2∫lnxd[1/(1+x^2)]
=1/2[∫(1/x)*1/(1+x^2)dx-(lnx)*1/(1+x^2)|1→e]
=1/2[1/2∫(1/x^2-1/(1+x^2))dx^2-1/(1+e^2)]
=1/2
=1/2
定積分是積分的一種，是函式f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。
這裡應注意定積分與不定積分之間的關係：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函式表示式，它們僅僅在數學上有一個計算關係（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關係都沒有！
定理一般定理
定理1：設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。
定理2：設f(x)區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。
定理3：設f(x)在區間[a,b]上單調，則f(x)在[a,b]上可積。
牛頓-萊布尼茨公式
定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由於一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關係。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由於這個理論，可以轉化為計算積分。
∫+∞ 1 xlnx/(1+x^2)^2dx（具體見圖（8）） 5
2樓：匿名使用者
用分部積分法可以如圖化簡計算，注意第三行的積分必須整體求出原函式，不能拆開為兩項。
求定積分:∫xlnx/(1+x^2)^2 dx.上限e,下限1.
3樓：臧澤叔學文
原式=-1/2∫lnxd[1/(1+x^2)]=1/2[∫(1/x)*1/(1+x^2)dx-(lnx)*1/(1+x^2)|1→e]
=1/2[1/2∫(1/x^2-1/(1+x^2))dx^2-1/(1+e^2)]
=1/2
=1/2
貌似不能化簡，自己看看吧。|1→e表示上下限
1/(1+x^2)^2在[0，+∞]上的定積分怎麼求？
4樓：假面
令x=1/t，換元后有：
∫t/[(1+t)(1+t^2)]dt 積分限不變所以，這個換元后的式子和原始的相加有：
(1/2)i=∫1/(1+x^2)dx 積分限0到正無窮得：i=(1/2)arctanx 代人積分限有i=pi/8
把函式在某個區間上的圖象[a，b]分成n份，用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。
5樓：匿名使用者
令t=1/x
你可以得到
這個函式在[0，+∞]的積分和函式x^2/(1+x^2)^2在[0，+∞]的積分相等……
相加直接就能轉為1/2倍的1/1+x^2在[0，+∞]積分pi/4
6樓：匿名使用者
∫dx/[(1+x^2)^2]
令x=tanα α∈(-π/2，π/2)
cosα=[1/(1+x^2)]^(1/2)sinα=x[1/(1+x^2)]^(1/2)∫dx/[(1+x^2)^2]
=∫dtanα/[(secα)^4]
=∫dα/(secα)^2
=∫(cosα)^2dα
=0.5∫(cos2α + 1)dα
=0.5∫cos2αdα + 0.5∫dα=(sin2α)/4 + α/2 + c
=sinαcosα/2 + α/2 + c=x/[2(1+x^2)] + 1/2 arctanx + c1/[(1+x^2)^2]在[0，+∞]上的定積分=lim(x→+∞) x/[2(1+x^2)] + 1/2 lim(x→+∞) arctanx
=0+1/2 × π/2
=π/4
7樓：
π/2∫dx/[(1+x^2)^2]=arctanx + c
8樓：茹翊神諭者
先把1/(1+x^2)^2的不定積分求出來
然後再求定積分，詳情如圖所示
有任何疑惑，歡迎追問
求xln(1+x^2)dx的積分
9樓：所示無恆
^^∫xln(1+x^zhi2)dx
=1/2∫ln(1+x^dao2)dx^2=1/2∫ln(1+x^2)d(1+x^2)=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-1/2∫(1+x^2)dln(1+x^2)
=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-1/2∫(1+x^2)*1/(1+x^2)d(1+x^2)
=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-1/2∫dx^2=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-1/2x^2+c
10樓：我不是他舅
^^∫xln(1+x^du2)dx
=1/2∫zhiln(1+x^dao2)dx^2=1/2∫ln(1+x^2)d(1+x^2)=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-∫(1+x^2)dln(1+x^2)
=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-∫(1+x^2)*1/(1+x^2)d(1+x^2)
=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-∫d(x^2)=1/2(1+x^2)ln(1+x^2)-x^2+c
11樓：希望天使在人間
=1/2 *ln(1+x^2)dx^2
=1/2*ln(1+x^2)d(1+x^2)=1/2*1/2(1+x^2)^2
=1/4(1+x^2)^2
12樓：匿名使用者
先還原，然後再分部積就行了
13樓：匿名使用者
^∫xln(1+x^zhi2)dx
=(1/2)∫daoln(1+x^專2)d(x^2) 設x^2=u=(1/2)∫ln(1+u)du
=(1/2)[uln(1+u)-∫u/(1+u)du]=(1/2)[uln(1+u)-∫1-1/(1+u)du]=(1/2)[uln(1+u)-u-ln(1+u)]+c 轉換回去屬=(1/2)[x^2ln(1+x^2)-x^2+ln(1+x^2)]+c
求定積分：∫xlnx/(1+x^2)^2 dx.上限e,下限1.
14樓：小威視角
原式=-1/2∫lnxd[1/(1+x^bai2)]=1/2[∫(1/x)*1/(1+x^2)dx-(lnx)*1/(1+x^2)|1→e]
=1/2[1/2∫(1/x^2-1/(1+x^2))dx^2-1/(1+e^2)]
=1/2
=1/2
貌似du
不能化簡，自己看看吧。
zhi|1→e表示上下限dao
求採納為滿意回答。
這個不定積分怎麼做？求詳細過程 積分號xlnx/(1+x^2)^2
15樓：逆流而上的鳥
分部積分啦！
過程如下：∫xlnx/[(1+x^2)^2]dx
=(-1/2)∫lnxd(1/(1+x^2))
=(-1/2)lnx/(1+x^2)+(1/2)∫1/[(1+x^2)*x]dx
=(-1/2)lnx/(1+x^2)+(1/2)∫x/[(1+x^2)*x^2]dx
=(-1/2)lnx/(1+x^2)+(1/4)∫1/[(1+x^2)*x^2]d(x^2)
=(-1/2)lnx/(1+x^2)+(1/4)∫[1/x^2-1/(1+x^2)]d(x^2)
=(-1/2)lnx/(1+x^2)+(1/4)[ln(x^2)-ln(1+x^2)]+c
=(-1/2)lnx/(1+x^2)+(1/4)ln[x^2/(1+x^2)]+c
xlnx/(1+x^2)^2 的不定積分
16樓：
∫ xlnx/(1+x^2)^2 dx
= 1/2*∫ lnx/(1+x^2)^2 d(1+x^2)
= -1/2*∫ lnx d[1/(1+x^2)]
= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/2*∫ [1/(1+x^2)] dlnx
= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/2*∫ x/[x^2(1+x^2)] dx
= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/4*∫ [1/x^2 - 1/(1+x^2)] dx^2
= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/4*ln(x^2) - 1/4*ln(1+x^2) + c
= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/2*lnx - 1/4*ln(1+x^2) + c
= 1/2*lnx*x^2/(1+x^2) - 1/4*ln(1+x^2) + c
(1+x^2)^2的定積分從0到1
17樓：
∫[0,1] (1+x^2)^2dx
=∫[0,1] (1+x^4+2x^2)dx=(x+x^5/5+2x^3/3)[0,1]=1+1/5+2/3
=28/15
18樓：匿名使用者
積分出來原函式是 1/2*x/(1+x^2)+1/2*arctan(x)
帶入得 1/2*1/(1+1^2)+1/2*arctan(1)=1/4+π/8
求定積分11x2從0到x
設 x sinu i baidx 1 x 2 cosudu cosu 2 secudu ln secu tanu c ln 1 x 1 x 2 c從 0 到du x 取值是 ln 1 x 1 x 2 擴充套件 zhi資料 一個函式,可dao以存在不定積版 分,而權不存在定積分 也可以存在定積分,而不...
求定積分，積分0到1，xe的x次方dx
不同型別函式的乘積積分，一般用分部積分法 本題也是用這個方法 0,1 xe xdx 0,1 xd e x xe x 0,1 0,1 e xdx e e x 0,1 e e 1 1 xe xdx xde x x e x e xdx x e x e x c x 1 e x c 所以定積分 2 1 e 2...
計算從0到 的定積分 x 4 sin x dx
解 設t 0,x 4 sin x dx t 0 x 4 sin x d x 用 x代換x t 0 x 4 sin x dx t 0,x 4 sin x dx t 0,1 4 sin x dx 0,x 4 sin x dx t 0,1 4 sin x dx t 2t 0,1 4 sin x dx t ...