1樓：匿名使用者
初 二 代 數
第八章 因式分析
[重點、難點點撥]
一、知識要點
1.因式分解——把一個多項式化為幾個整式的積的 形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項
式分解因式。
2.因式分解的方法
(1)提取公因式——如果多項式的各項有公因式，可 把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形 式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。
提取公因式法是因式分解的最基本、最常用的方法，它的理論依據就是乘法的分配律，能找出多項式各項的公 因式是這種方法的關鍵，並要注意養成首先作提公因式分解的習慣。
(2)運用公式法——如果把乘法公式反過來，就可以用把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。
(3)分組分解法——利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。
被分解的多項式中，如果項數超過三項，進行因式分解時所採用的方法常是分組分解，一般來說，分組分解法有兩種型別：第一種是分組後各組有公因式，可以進一步提取公因式進行分解；第二種是分組後可以應用公司進行分解。
（4）十字相乘法——藉助畫十字交叉線分解係數，從而把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法是二次三項式分解因式的一種常用方法，它是先將二次三項式 的二次項係數a及常數項c都分解為兩個因數的乘積（一般會有幾種不同的分法）
然後按斜線交叉相乘、再相加，若有 ，則有 ，否則，需交換 的位置再試，若仍不行，再換另一組，用同樣的方法試驗，直到找到合適的為止。
3.因式分解的一般步驟
（1） 如果多項式的各項有公因式時，應先提取公因式；
（2） 如果多項式的各項沒有公因式，則考慮是否能用公式法來分解；
（3） 對於二次三項式的因式分解，可考慮用十字相乘法分解；
（4） 對於多於三項的多項式，一般應考慮使用分組分解法進行。
在進行因式分解時，要結合題目的形式和特點來選擇確定採用哪種方法。以上這四種方法是彼此有聯絡的，並不是一種型別的多項式就只能用一種方法來分解因式，要學會具體問題具體分析。
在我們做題時，可以參照下面的口訣：
首先提取公因式，然後考慮用公式；
十字相乘試一試，分組分得要合適；
四種方法反覆試，最後須是連乘式。
二、學習要求
1、 正確理解因式分解的意義，會判斷一個變形是不是因式分解，會判斷分解所得的因式是否能再繼續分解，從而得到因式分解的正確結果。要了解因式分解與整式乘法的區別和聯絡。
2、會正確判定多項式各項的公因式，會用提公因式的方法分解因式，並養成首先運用提公因式法分解因式的習慣。
3、熟記五個乘法公式，理解乘法公式逆向應用就是因式分解的公式。會運用換元的思想把某個代數式看做一個字母，會判斷一個多項式是否符合各個公式的結構特點，並會把公式結構特點的多項式依照公式進行因式分解。
4、會運用十字相乘的方法，把某些二次三項式（或可以看做二次三項式的多項式）進行因式分解。
5、會運用先分組，再提公因式法或運用公因式法和十字相乘法進行因式分解。
※ 6、會綜合運用各種方法，做較複雜的因式分解。
※ 7、會運用因式分解解決一些簡單的數學問題。
[重點、難點例題分析]
例1 下列各式中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
分析：由於因式分解的物件是多項式，而 是單項式，所以（1）不是；由於因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，而 恰恰相反,它是把m與x+y-z的積化為一個多項式，所以(2)不是；由於（3）的結果也不是整式的積的形式，而是將原多項式進行了部分的分解，所以(3)不是；（4）中等號右邊的 還可以提公因式x，它還沒有分解完，所以（4）不是；（5）採用的是提公因式法，但它提取的是 ，這不是整式，而我們要求提取的公因式應為整式，即單項式或多項式，所以（5）也不是；(6)、(7)、(8)均符合因式分解的定義，並且將等式右邊的乘積算出來，其結果等於原式，所以（6）、（7）、（8）是因式分解。
注：（1）因式分解是在整式範圍內進行的。另外，要注意在什麼數的範圍內進行因式分解，若題目沒有說明，一般指在有理數範圍內進行。
（2）因式分解不能只分解多項式的某些項，變形的結果必須是化成幾個整式的積的形式。
（3）一定要把多項式的每個因式分解到不能再分為止。
（4）因式分解與整式乘法是一對互逆的運算，多項式的因式分解是把和差化為積的形式；而整式乘法是把積化為和差的形式，雖然都是恆等變形，但它們是互逆的兩種過程。
例2 用提公因式分解下列因式。
（1）（2）
（3）（4）
（5）解：（1）分析：當多項式的某一項和公因式相同時，注意不要漏掉1，即 。
（2）分析：這個多項式的第一項為負，而括號內多項式的首項應為正，所以公因式為-xy，注意括號內中的每一項都要變號。
（3） ]
注：把（x-y）當作一個因式，另一個因式要整理，去掉中括號，因式分解要求最後結果應是最簡形式，能合併的一定要合併。
（4）分析：∵ ∴公因式為 。
∴（5）分析：∵，∴公因式為（x-y）.
∴由（4）、（5）可知：當公因式是多項式時，要注意符號問題，若需要改變括號內的字母順序，應儘量改變偶次項括號內的字母順序，若均為奇次項，則應保持首項係數為正。
當n為偶數時，
當n為奇數時，
注：①在確定各項的公因式時要注意，公因式的係數應取各項係數的最大公約數，字母取各項都含有的相同的字母，各字母的指數取次數最低的。
②提出公因式後，剩下的項組成的另一個因式的項數應和原多項式的項數相同。
例3 用公因式法分解下列因式。
注：(1)運用公式法進行因式分解的依據是乘法公式的逆變形。
（2）運用公式法進行因式分解的關鍵是要弄清各個公式的形式結構和特點，熟練地掌握公式。在做題時，可以先將多項式化為公式的基本形式，如：可化為（ ）2 -（ ）2 ，運用平方差公式；可化為 ，運用完全平方公式；可化為 ，運用立方和或立方差公式。
（3）在運用公式法做因式分解時，公式中的字母a、b可為任意數、單項式或多項式等。
解：（1）分析：這題顯然不能直接使用公式，由於兩項均為4次方。因此需要添一項湊出一個完全平方式，這裡注意應湊成 ，以利於進一步的分解。
（2）分析：這題可以通過拆項的方法進行因式分解，由三項的係數特徵可知應將 拆為 後再分組。
例11 已知多項式 有一個因式是 ,求k的值並把原式分解因式。
分析：由於 是一個三次多項式，而已知有一個一次多項式因子，可知另一個因子必是二次多項式，不妨設為 ，用待定係數法可確定a、b的值。
[重點、難點練習題]
一、 用提取公因式法分解下列各式
二、用公式法分解下列各式
三、用十字相乘法分解下列各式
四、用分組分解法分解下列因式
五、分解下列因式
六、分解下列因式
[全方位單元綜合練習題]
一、 判斷題（對的在括號裡打"√",錯的打"×"）
6、因式分解過程正好與整式乘法過程相反。 （ ）
7、任意一個二次多項式都可以分解為兩個一次因式的乘積。（ ）
8、兩個偶數的平方差一定是4的倍數。 （ ）
二、 選擇題（每題只有一個正確答案，把正確答案的序號填在括號裡）
四、將下列各式分解因式
五、將下列各式分解因式
因式分解技巧 十字相乘法公式
2樓：淨壇使者
二次三項式，十字相乘，因式分解，
竅門就是，結合分組分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
中間的一次項 mx = (a+b)x ，
首先一分為二，拆開變成 ax + bx ，接下來把四個項，分兩組提公因式，做起來就輕鬆多了；
q 關鍵是一次項怎樣一分為二，就由常數項的正負來決定，一次項不變，只要常數項變成相反數，一次項就要改變一分為二的方式；
q 如果常數項是正數，
一次項就是拆開兩個絕對值比原來小的兩個項；
就連完全平方的式子，這樣做起來也會覺得更加可靠。
例如x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )= ( x + 5 )"
常數項都是 +25，一次項就都是分開 10=5+5，x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )= ( x - 5 )"
類似的常數項為正數
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )= ( x + 4 )( x + 6 )
常數項都是 +24，一次項就都是分開 10=4+6，x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )= ( x - 4 )( x - 6 )
q 如果常數項是負數，
一次項係數就是分開兩個項的相差數；
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )= ( x - 2 )( x + 12 )常數項都是 -24，一次項就都是分開 10=12-2，x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )= ( x + 2 )( x - 12 )看到了吧，
一次項和常數項，絕對值都是 10x 和 24，分解因式卻有 4 種結果，會不會看得暈頭轉向呢？
怎麼辦？只要這樣一步一步地寫出來，就肯定不會出錯了。
x" ± 5x ± 6
x" ± 10x ± 24
x" ± 15x ± 54
x" ± 20x ± 96
x" ± 25x ± 150
都是這樣有 4 種結果，
使用這個分解因式的方法，
你自己也試一試吧。
只要熟悉這個方法，就連二次項係數不是 1 也同樣方便，例如4x" - 31x - 45
對著 31，我們恐怕不知道怎樣分開兩項
可是看到 -45，我們都會想到 4x9=36，5x9=45，那麼= 4x" - 36x + 5x - 45= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )= ( x - 9 )( 4x + 5 )或者= 4x" + 5x - 36x - 45= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )= ( x - 9 )( 4x + 5 )
關於相乘法，關於十字相乘法
十字相乘法是因式分解中12種方法之一，另外十一種分別是 1分組分解法 2.拆添項法 3.配方法 4.因式定理 公式法 5.換元法 6.主元法 7.特殊值法8.待定係數法 9.雙十字相乘法 10.二次多項式11.提公因式法 十字分解法的方法簡單來講就是 十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，...
相乘法誰會，十字相乘法 誰會？
十字相乘法是分解因式的一種方法。1 十字相乘法的具體方法 十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。2 十字相乘法的用處 1 用十字相乘法來分解因式。2 用十字相乘法來解一元二次方程。3 十字相乘法的優點 用十字相乘法來解題的速度比較快，能夠節約時間，而且運用算量...
相乘法如何計算，十字相乘法如何計算？
拆分的那兩個係數a，b，使得axb 常數項，a b 一次項係數 都是包含符號的 十字相乘法的方法簡單來講就是 十字左邊相乘等於二次項，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項。其實就是運用乘法公式 x a x b x a b x ab的逆運算來進行因式分解。十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。...