1樓：回菊留妝
對數的性質及推導
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數*表示乘號，/表示除號
定義式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
3.log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);
4.log(a)(m^n)=nlog(a)(m)推導1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)
2.mn=m*n
由基本性質1(換掉m和n)
a^[log(a)(mn)]
=a^[log(a)(m)]
*a^[log(a)(n)]
由指數的性質
a^[log(a)(mn)]=a^
又因為指數函式是單調函式，所以
log(a)(mn)
=log(a)(m)
+log(a)(n)
3.與2類似處理
mn=m/n
由基本性質1(換掉m和n)
a^[log(a)(m/n)]
=a^[log(a)(m)]
/a^[log(a)(n)]
由指數的性質
a^[log(a)(m/n)]=a^
又因為指數函式是單調函式，所以
log(a)(m/n)
=log(a)(m)
-log(a)(n)
4.與2類似處理
m^n=m^n
由基本性質1(換掉m)
a^[log(a)(m^n)]=^n
由指數的性質
a^[log(a)(m^n)]=a^
又因為指數函式是單調函式，所以
log(a)(m^n)=nlog(a)(m)其他性質：
性質一：換底公式
log(a)(n)=log(b)(n)
/log(b)(a)
推導如下n=
a^[log(a)(n)]a=
b^[log(b)(a)]
綜合兩式可得n=
^[log(a)(n)]=b^
又因為n=b^[log(b)(n)]
所以b^[log(b)(n)]=b^
所以log(b)(n)
=[log(a)(n)]*[log(b)(a)]所以log(a)(n)=log(b)(n)/log(b)(a)
性質二：（不知道什麼名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推導如下
由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)
由基本性質4可得
log(a^n)(b^m)
=[n*ln(a)]
/[m*ln(b)]
=(m/n)*
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性質及推導完）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)證明如下:
由換底公式
log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b為底的對數,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)
還可變形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1三角函式的和差化積公式
sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2三角函式的積化和差公式
sinα
·cosβ＝1/2
[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα
·sinβ＝1/2
[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα
·cosβ＝1/2
[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα
·sinβ＝-1/2
[cos（α＋β）－cos（α－β）]
2樓：習寧滑霜
我就跟你用高中的導數定義推一下吧。
根據定義，有(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x),其中△x→0,將sin(x+△x)-sinx，就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx,由於△x→0,故cos△x→1,從而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x,於是(sinx)』=lim(cosxsin△x)/△x,這裡必須用到一個重要的極限，當△x→0時候，lim(sin△x)/△x=1,於是(sinx)』=cosx.
同理，(cosx)』=lim[cos(x+△x)-cosx]/△x,其中△x→0.而此時cos(x+△x)-cosx＝cosxcos△x-sinxsin△x-cosx→-sinxsin△x，(cosx)』＝lim(-sinxsin△x)/△x=-sinx.
(lnx)』=lim[ln(x+△x)-lnx]/△x,△x→0.ln(x+△x)-lnx=ln(1+△x/x)，這裡也需要用到一個極限：當t→0時，ln(1+t)→t.
於是我們有(lnx)』=lim[ln(1+△x/x)]/△x=(△x/x)/(△x)=1/x.
而用換底公式有logax=lnx/lna=(logae)lnx,我們已經求得了(lnx)』=1/x,所以[logax]』=[(logae)lnx]』=(logae)/x.
這些公式的推導都要用到一些中學課本沒有提及的重要極限，所以課本不作公式推導而直接寫出結果。我的解答就到這裡，有什麼不明白的歡迎繼續討論。
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