1樓：匿名使用者
方程有解問題的常用處理辦法
方程 有解的問題實際上是求函式 零點的問題，判斷方程 有幾個解的問題實際上就是判斷函式 有幾個零點的問題，這類問題通常有以下處理辦法：
一、直接法
通過因式分解或求根公式直接求方程 的根，此法一般適合於含有一元二次（三次）的整式函式，或由此組合的分式函式。
例1（2023年福建理4）函式 的零點個數為（ ）
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
解：當 時，由 得 （捨去）， ；當 時，由
得 ，所以函式 的零點個數為2，故選c。
二、圖象法
對於不能用因式分解或求根公式直接求解的方程 ，可以先轉化為方程 ，再在同一座標系中分別畫出函式 和 的圖象，兩個圖象交點的橫座標就是原函式的零點，有幾個交點原函式就有幾個零點。次法一般適合於函式解析式中既含有二次（三次）函式，又含有指數函式、對數函式或三角函式的函式型別。
例2（2023年湖北高考題）方程 的實數解的個數是
解析：在同一座標系中分別作出函式 和
的圖象，從圖中可得它們有兩個交點，即方程有兩個實數解。
三、導數法
在考查函式零點時，需要結合函式的單調性，並且適合用求導來求的函式，常用導數法來判定有無零點。
例3（2023年天津高考題）設函式 ，則 （ ）
a. 在區間 內均有零點
b. 在區間 內均無零點
c. 在區間 內有零點，在區間 內無零點
d. 在區間 內無零點，在區間 內有零點
解析：令 ，令
所以函式 在區間 上是減函式，在區間 上是增函式，在 處取得極小值
，又 ，故選d。
四、利用零點存在性定理
利用該定理不僅要求函式 在 上是連續的曲線，且 ，還必須結合函式的圖象與性質（如單調性）才能確定函式有幾個零點。
例4 設 ，求函式 在區間 上有零點的概率。
解： ，易知函式 在區間 上單調遞增，若函式 在區間 上有零點，則 ，即 。所以當 時， 或 ；當 時， 或 ；當 時， 或 ；當 時， 或 ，故滿足條件的事件有8個，其中基本事件有 個，故所求事件的概率為
五、分離引數法
例5（2007廣東卷理20）已知 是實數，函式 如果函式 在區間 上有零點，求實數 的取值範圍。
解法1： 時， ，故
在區間 上有解
在區間 上有解
在區間 上有解
問題轉化為求函式 在區間 上的值域。
法一：設 ，令
隨變化的情況如下表：
— 0 +
1 的值域為
其圖象如圖所示：
由此可知可知： ，即 或
法二：令 則
利用對勾函式性質可得 即 ，故 或 .
解法2： 在區間 上有解 在區間 上有解
與 且 的圖象有交點
由+ + 0 — —
51 、 隨 變化的情況如下表：
函式 的草圖如下：
由圖可知： 或 .
評註：利用函式處理方程解的問題，方法如下：
（1）方程 在區間 上有解
與 的圖象在區間 上有交點
（2）方程 在區間 上有幾個解 與 的圖象在區間 上有幾個交點
例6 設函式
（1）若函式 在 上存在單調遞增區間，試求實數 的取值範圍；
（2）求函式的極值點。
解：（1）函式 在 上存在單調遞增區間 不等式 在 上有解
在 上有解
令 ，結合對勾函式性質知 ，所以
（2）令
於是問題轉化為求一元二次方程 在 上的解！
解法一：用直接法直接求解
因為 ，所以
①當 ，即 時，方程無解，所以沒有極值點；
② 當 ，即 時，對應的 ，但在 的左右兩側導數值 均大於0，所以沒有極值點；
③當 時， ，但 ，
所以方程在 無解，沒有極值點；
當 時， ，且 ，
其中 是極大值點， 是極小值點。
綜上所述， 時，沒有極值點； 時，有極大值點 ，極小值點 。
解法二：用零點存在性定理求解
方程 在 上要有解，要麼有一正根，一負根；要麼有兩個正根，
令 ①若方程有一正根，一負根，則應有 ，但事實上 ，所以矛盾！
②若方程有兩個正根，則
所以，當 時方程有兩個正根，即 和 為函式 的極值點；當 時，方程沒有正根，所以沒有極值點。
解法三：圖象法
由 分別畫出 和 的圖象
由圖可知當 時圖象有兩個交點，對應的方程有兩個正根，
即 和 為函式 的極值
點；當 時， 的左右兩側導數值 均大於0，所以沒有極值點；當 時，兩圖象沒有交點，方程沒有正根，所以沒有極值點。
評註：本題第（1）問是不等式有解問題，而第（2） 問是方程有解問題，採用了三種不同的方法來處理。
例7 已知 及 ，若 ，使 成立，求實數 的取值範圍。
解：易知 的值域為 ， 的值域為
由 得 的取值範圍是 或 。
例8 已知函式 ，
其中 且
（1）判斷函式 的單調性；
（2）若 ，求函式 的最值；
（3）設函式 ，當 時，若對於任意的 ，總存在唯一的 ，使得 成立，試求 的取值範圍。
解：（1）
①當 時， 在 和 上是減函式，在 上是增函式；
②當 時， 在 和 上是增函式，在 上是減函式。
（2） ，所以
由（1）知 在 上是減函式且 在 上也是減函式
所以 在 上是減函式
當 時， ；當 時，
（3） ，
由（1）知 在 上是減函式，所以 ，即
又 ，在 上是增函式，所以 ，即
對任意 ，總存在唯一的 ，使得 成立，
，故只需 ，即 ，
為此令 ，則 在 上是增函式，
而且有 ， ，所以 時，
故所求 的取值範圍是 。
評註：一般地：分別定義在區間 和 上的函式 ，
若 ， ，使 成立
例9（2023年南昌市一模第21題）已知函式 在 處取到極值2.
(1)求 的解析式；
(2)設函式 .若對任意的 ，總存在唯一的 ( 為自然對數的底)，使得 ，求實數 的取值範圍.
解: （1）
由 在 處取到極值2，故 ， 即 ,
解得 ，經檢驗，此時 在 處取得極值.故
（2）由（1）知 ，故 在 上單調遞增，在 上單調遞減,
由 ，故 的值域為
依題意 ，記
（ⅰ）當 時， ， 在 上單調遞減，依題意由 ，得 ，
（ⅱ）當 時， ，當 時， ，當 時，
依題意得： ……………………（ⅰ） 或 ……………………（ⅱ）
解不等式組（ⅰ）得 ，而不等式組（ⅱ）無解。 所以
（ⅲ）當 時， ，此時 ， 在 上單調遞增，
依題意得： 即 此不等式組無解
綜上，所求 取值範圍為
本題的解法還可以優化為以下解法快速得解：
（2）解：
若對任意的 ，總存在唯一的 ( 為自然對數的底)，使得
………………（ⅰ） 或 ………………（ⅱ）
不等式組（ⅰ）無解；解不等式組（ⅱ）得 ， 故所求 取值範圍是
例10 設函式
求證：對任意 ，總存在 ，滿足 ，並確定這樣的 的個數。
解析：由於
於是原問題轉化為方程 在 內有解，並求解的個數。
方法一：令
因為 ，
（1）當 ，即 或 時，方程 在 內只有一解；
（2）當 ，即 時，方程 在 內有兩解；
（3）當 時，由 得 或 ，所以方程 在 內只有一解；
（4）當 時，由 得 或 ，所以方程 在 內也只有一解。
綜上所述，對任意 ，總存在 ，滿足 ，且 或 時，有唯一的 適合題意；當 時，有兩個 適合題意。
方法二：如圖所示，分別作出函式 和
的圖象，由圖可知：
當 或 時，方程在 內有一解；
當 時，方程在 內有兩解。
2樓：匿名使用者
一、直接法
通過因式分解或求根公式直接求方程
3樓：匿名使用者
方程有解一般就要考慮△≥0（△=b
高中數學解方程問題，要過程已有答案謝謝一定採納！
4樓：啦嘿嘿呦嘿
將n解出來，然後畫數軸，然後就是那個結果，一看就明白，希望可以幫助你。
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