1樓：風痕雲跡
反證法： 假設 根號5+三次根號5為有理數。
設 5^(1/6)= x, 則 x^6 =5.
根號5+三次根號5 = x^3+x^2=x^2(x+1)=a1, a1>0 為有理數。（由反證假設）
平方得： x^4(x+1)^2=a1^2， x^6(1+1/x)^2=a1^2
==> (1+1/x)^2=a1^2/5 ===> 1+1/x =a1/5 * 根號5，
x = 1/(a1/5 * 根號5 - 1) = a2 根號5 + b2, 其中 a2,b2 為非0有理數. 此過程只是分母有理化，然後方便地記得到的數為 a2 根號5 + b2
於是 x^2 = (a2 根號5 + b2)^2 = a3 根號5 + b3, 其中 a3,b3 為非0有理數. 此過程只是平方後合併有理數部分，然後方便地記得到的數為 a3 根號5 + b3
於是 x^6 = (x^2)^3=(a3根號5 + b3)^3 = a根號5 + c = 5，
其中a=5a3^3+3a3b3^2=a3(5a3^2 + 3b3^2) 為非0有理數.
c = 3a3^2 * 5 * b3 + b3^3 為有理數。
於是 根號5 = （5-c）/ a 為有理數。
矛盾！所以 根號5+三次根號5 是無理數
2樓：匿名使用者
設5∧(1/2)+5∧(1/3)=p/q，p和q為互素的正整數；此式可改寫為5∧(1/3)[5∧(1/6)+1]=p/q，兩邊取立方得:5[1+5∧(1/6)]∧3=p∧3/q∧3，即p∧3=5q∧3[1+5∧(1/6)]∧3①，所以5|p∧3，因5為素數，所以5|p②，設p=5m，m為正整數，則p∧3=125m∧3，代入①得:q∧3[1+5∧(1/6)]∧3=25m∧3，所以5|q∧3[1+5∧(1/6)]∧3，因5為素數，所以5|q[1+5∧(1/6)]，顯然5不能整除1+5∧(1/6)，所以5|q③，根據②、③p和q有公因子5，這和p、q互素的假設矛盾！
所以5∧(1/2)+5∧(1/3)為無理數(證畢)。
3樓：匿名使用者
分別證明根號5，三次根號5 是無理數即可
假設根號5為有理數，則根號5=m/n ，m,n 為整數，且互素則5=m^2/n^2 m是n 的倍數，矛盾同理可得三次根號5 是無理數
請問如何證明根號5，根號3是無理數？
4樓：簡可
反證法：
假設結論不成立（接下來用a表示根號3，因為不好打），即a為有理數，那麼存在正整數p和q（p,q無公因子，或稱互質）,使得a=p/q(有理數的性質)，兩邊平方，得到
p^2=3*q^2,
接下來分析，（具體過程可以有多種，但是都是從公因子3入手，引出矛盾）因為等號右邊有因子3，且3為質數，因此p一定是3的倍數，設p=3r,代入等式並約分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍數，於是p、q均為3的倍數，與p、q互質矛盾。
故有反證法的原理，知a為無理數
假設 根號5是有理數，
設 根號5=p/q,
其中，p,q是正的自然數且互質。
則由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5 整除（反證法可以證得：如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除，得證）
設p=5*n(n是正的自然數)
則5q^2=p^2=25n^2
這樣 q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p與q有公因子5。
這與p,q互質相矛盾
從而 證明了根號5為無理數。
求證：根號5是無理數
5樓：暴走少女
證明：√5是無理數。
設√5不是無理數而是有理數，則設√5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1。
兩邊平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)p^2含有因數5，設p=5m
代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2q^2含有因數5，即q有因數5，這樣p,q有公因數5。
這與假設p,q最大公約數為1矛盾， √5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)不成立，
所以√5不是有理數而是無理數。
6樓：匿名使用者
證明：可以用『反證法』來證明：
假設√5是有理數，那麼它一定可以用一個最簡的既約分數a/b表示，√5=a/b
兩邊同時平方，得
5=a^2/b^2
得：a^2=5b^2，
由此可見，a是5的倍數，於是設a=5k，則有(5k)^2=5b^2
25k^2=5b^2
得：b^2=5k^2，
也就是說b也是5的倍數，
綜上，a、b都是5的倍數，那麼a/b就不是最簡分數了，與假設矛盾，因此，根號5不是有理數，必定是無理數。
7樓：富畫終琛
假設根號5是有理數，
設根號5=p/q,
其中，p,q是正的自然數且互質。
則由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5整除（反證法可以證得：如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除，得證）
設p=5*n(n是正的自然數)
則5q^2=p^2=25n^2
這樣q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p與q有公因子5。
這與p,q互質相矛盾
從而證明了根號5為無理數。
怎麼證明根號5是無理數
8樓：你愛我媽呀
1、設√5不是無理數而是有理數，則設√5=p/q(p，q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)。
2、兩邊平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。
3、p^2含有因數5，設p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因數5，即q有因數5。
4、這樣p,q有公因數5，這與假設p,q最大公約數為1矛盾。
5、√5=p/q(p，q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)不成立，
所以，√5不是有理數而是無理數。
9樓：豆豆寶寶
通俗地說，無理數是不能化
為分數的數，
嚴格地說，無理數就是不能寫成兩個整數比的數。
用反證法證明√5是無理數。
設√5不是無理數而是有理數，則設√5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)
兩邊平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)p^2含有因數5，設p=5m
代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2q^2含有因數5，即q有因數5
這樣p,q有公因數5，
這與假設p,q最大公約數為1矛盾，
√5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)不成立，√5不是有理數而是無理數。
10樓：萇童銳舟
你的推理有錯誤的。解釋如下:
對√5那個證明來說，
p^2=5q^2(*)，看等號右邊，q是整數，所以=5q^2必然是5的倍數，既然左右相等，那麼
p^2必然也是5的倍數，那麼如果p^2是5的倍數，只可能p是5的倍數，所以才有上面的結論。
對於你說的3的證明，關鍵其實也是這一步，
p^2=9q^2，說明9q^2是9的倍數，那麼p^2也是9的倍數，注意這時候並不代表p一定是9的倍數，因為p其實只要是3的倍數就可以保證p^2是9的倍數
證明：根號5是無理數
11樓：匿名使用者
^假設 根號5是有理數，
設 根號5=p/q,
其中，p,q是正的自然數且互質。
則由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除，所以p也能被5 整除（反證法可以證得：如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除，得證）
設p=5*n(n是正的自然數)
則5q^2=p^2=25n^2
這樣 q^2也能被5整除，q也能被5整除
因此p與q有公因子5。
這與p,q互質相矛盾
從而 證明了根號5為無理數。
12樓：聊資閔高卓
通俗地說，
無理數是不能化為分數的數，
嚴格地說，無理數就是不能寫成兩個整數比的數。
用反證法證明√5是無理數。
設√5不是無理數而是有理數，則設√5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)
兩邊平方，5=p^2/q^2,
p^2=5q^2(*)
p^2含有因數5，設p=5m
代入(*)，25m^2=5q^2,
q^2=5m^2
q^2含有因數5，即q有因數5
這樣p,q有公因數5，
這與假設p,q最大公約數為1矛盾，
√5=p/q(p,q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)不成立，√5不是有理數而是無理數。
使用算術基本定理證明：根號5是無理數
13樓：匿名使用者
假設根號5=a/b .其中(a,b)=1，且a與b都是正整數.則a平方=b平方乘以5.易見b>1，否則b=1，，則根號5=a是一個整數，為假。
a平方等於5*b平方。改寫成b平方等於(a/5)*a.因為b>1，因此b有素因子p，因此p整除a/5 或a，總之，p整除a，因此p同時整除a與b，這與(a,b)=1矛盾.
14樓：紫色學習
假設 根號5是有理數,
設 根號5=p/q,
其中,p,q是正的自然數且互質.
則由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除,所以p也能被5 整除（反證法可以證得：如果p不能被5整除,則p^2也不能被5整除,得證）
設p=5*n(n是正的自然數)
則5q^2=p^2=25n^2
這樣 q^2也能被5整除,q也能被5整除
因此p與q有公因子5.
這與p,q互質相矛盾
從而 證明了根號5為無理數.
15樓：我擦泥枚
^若√5是有理數
則√5=a/b（ab互質，且ab為正整數）那麼5=a^2/b^2
5b^2=a^2
所以a^2能被5整除
所以a是5的倍數
設a=5x
則5b^2=(5x)^2
5b^2=25x^2
b^2=5x^2
顯然b也是五的倍數
與ab互質矛盾
所以根號5是無理數
證明根號5是有理數還是無理數？如何證明的？請詳細解釋下，謝謝！ 30
16樓：勾秀梅乾綢
根號是運算子號，表示平方的逆運算
有理數是可以寫成兩個整數相除形式的數
無理數是不能寫成兩個整數相除形式的數
17樓：維納斯丶澀小狼
因為整數的平方是整數，更好5不是整數
因為 分數的平方仍然是分數，
（√5）的平方不是分數
所以 √5不是分數
因此 √5不是有理數，即為無理數
18樓：徐少
解析：(1) 嚴格意義上，初高中階段是無法證明此題的
(2) 初高中階段，沒有給出「無理數」的精確定義。這直接導致：證明的過程中進入「迴圈論證」
(3) 初高中階段，我們所理解的代數，幾乎等同於「計算。
【數學】怎麼證明根號3 加上 根號5 是無理數？
19樓：匿名使用者
求證：(根號
3＋根號5)是無理數。
證明：利用反證法。
假設:（根號3＋根號5)=m 是有理數，由假設得：
根號5＝m-根號3，
兩邊平方得：5=m^2-2(根號3)m+3於是，根號3=(m^2-2)/2m
上式左邊（根號3)是無理數，右邊(m^2-2)/2m是有理數，即按照假設計算結果是（根號3)變成有理數了，這是不可能的。
故,(根號3＋根號5)是無理數。證畢。
求證三次根號3是無理數，求證 根號5是無理數
假設三次根號來3是有理自 數則其可表示為n m n m互質 所以3m 3 n 3 所以n有約數3，設n 3k 則3m 3 27k 3,m 9k 3 所以m也有約數3 與m n互質矛盾 所以假設不成立，三次根號3是無理數 所有的有理數都可以寫成兩個整數之比 而無理數不能。根據這一點，有人建回議答給無理...
怎麼證明根號5是無理數求證根號5是無理數
1 設 5不是無理數而是有理數，則設 5 p q p，q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1 2 兩邊平方，5 p 2 q 2,p 2 5q 2 3 p 2含有因數5，設p 5m，代入 25m 2 5q 2,q 2 5m 2，q 2含有因數5，即q有因數5。4 這樣p,q有公因數5，這與假設p,q...
三次根號的2根號5三次根號的2根號5如何算，我
設x 三次根號的 2 根號5 三次根號的 2 根號5 兩邊同時立方 x的立方 2 根號5 3 三次根號 2 根號5 的平方 2 根號5 3 三次根號 2 根號5 2 根號5 的平方 2 根號5 x的立方 4 3 三次根號 2 根號5 三次根號的 2 根號5 x的立方 4 3x x的立方 3x 4 0...