1樓：翦駿英沈懷
假如根號2是有理數，那麼它一定可以用一個最簡的（不能再約分的）分數m/n表示
則：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m是偶數
假設m=2k，那麼2*n^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2
所以說n也是偶數
既然m,n都是偶數，那麼m/n就不是最簡分數，與原設相矛盾故根號2是無理數
2樓：納天藍逢杉
假設根號2是有理數，則根號2可以表示為一個分數，因為任何一個有理數都可以表示為分數形式，不妨設根號2=a/b，其中a、b都是正整數，且為最簡，即不能再約分（即a、b只能一個為奇數，一個為偶數），很顯然，b≠1；
則兩邊分別平方，可得2=a??/b??
即a??可被b??整除，分兩種情況考慮
1、a為奇數、b為偶數，此時a??仍為奇數、b??仍為偶數，這時a??顯然不能被b??整除，即這種情況不滿足題意；
2、a為偶數、b為奇數，此時a能被2整除，則a??能被4整除，則a??/2仍為偶數，而根據假設a??
/2=b??，此時b??應為奇數；但該情況時b為奇數，b??
則也為奇數，即不滿足題意。
綜合考慮，由假設得出的結論均存在矛盾，則證明假設錯誤，原命題正確。
即根號2為無理數是正確的。
3樓：
用反證法哇：設：√2是有理數，將√2表示成兩個整數a、b的比（a與b互質）a/b,則有√2＝a/b將兩邊平方：
2=a??/b??兩邊同時乘b??
，得：2b??=a??
即a??為偶數，a也是偶數，設a=2m，a??=4m??
原方程為：2b??=4m??
化簡：b??=2m??
即b??是偶數，b也為偶數而a是偶數（已證）違背了a與b互質的假設∴√2是偶數的假設不成立即√2是無理數
4樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
證明根號二是無理數
5樓：匿名使用者
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式： √2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。
把 √2=p/q 兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
6樓：陳執大象
假設根號2為有理數,那麼存在兩個互質的正整數p,q,使得:
根號2=p/q
於是p=(根號2)q
兩邊平方得
p^2=2q^2(「^」是幾次方的意思）
由2q^2是偶數，可得p^2是偶數。而只有偶數的平方才是偶數，所以p也是偶數。
因此可設p=2s,代入上式，得：
4s^2=2q^2,
即q^2=2s^2.
所以q也是偶數。這樣，p,q都是偶數，不互質，這與假設p,q互質矛盾。
這個矛盾說明，根號2不能寫成分數的形式，即根號2不是有
7樓：
假如√2是有理數，則√2可寫作m/n,(m,n互質）∵√2=m/n
2=m^2/n^2
m^2=2n^2
則m,n必同時為偶數
這與m,n互質相矛盾，
所以假設不存在
√2必為無理數
8樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
9樓：鴛鴦止水
假設是有理數 則可以寫成最簡分數形式 再利用分子分母奇偶性討論得到矛盾即可
證明:根號2是無理數
10樓：匿名使用者
設根號2是有理數
根號2=m/n mn為互質整數
則2=m方/n方
m方=2m方 即m方是偶數,m為偶數
m為偶數,則m方為4的倍數
則n方為偶數,n為偶數
則mn不互質
與假設矛盾
所以:根號2是無理數
這種方法叫反證法,
1,假設相反的情況成立
2,根據假設得出於假設矛盾的結論
3,從而證明假設錯誤,原命題正確
11樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
12樓：匿名使用者
因為是無限不迴圈小數吧
初中數學 證明根號2是無理數
13樓：匿名使用者
假設根號二是一分數，設其為（p/q）（p,q互質），由根號二的意義得（p/q)的平方=2，即有（p的平方/q的平方）=2，故q的平方=2倍的p的平方。
請注意，2倍的p的平方必定是偶數，因而q的平方也必定是偶數，進而q一定是偶數。於是可設q=2k（k是正整數），由上述式子得
（2k）的平方=2倍的p的平方，從而2倍的k的平方=p的平方。
所以p的平方必定是偶數，於是p也是偶數，這與p,q互質矛盾。
這個矛盾表明我們的假設「根號二是一分數」不成立，所以根號二既非整數，也非分數，就是說，根號二是無理數。
參考資料
《數學》初二上冊第12頁
14樓：匿名使用者
用反證法。
假定^2是有理數，那麼一定可以表示為p/q，其中p和q是互質的自然數，且q<>1。
兩邊同時平方，得到：
2=p^2/q^2
由於平方運算不影響原來自然數的奇偶性，即偶數的平方還是偶數，奇數的平方還是奇數，因此上式也可以寫為：
2=p/q，
而且平方操作也不影響互質性，因此p和q是互質的自然數，且q<>1。
1 p,q不可能都是偶數，因為這違背了「互質」的前提，因為兩個偶數必然有公因子2；
2 p,q不可能都是奇數，因為兩個奇數相除不可能得到2；
3 只有一種可能性是p,q為一奇數，一偶數，但是這樣一來，p就有了q作為它的因子，這與題設中互質的前提又有矛盾。
綜合1/2/3，我們不可能找到這樣兩個自然數p, q來表示根號2。因此根據有理數的定義，根號2只能是無理數。證畢。
15樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
16樓：匿名使用者
假設根號二是有理數設 根號2=n/m(m,n屬於z,m,n互質)根號2*m=nn方=2*m方n是2的倍數設n=2k則4k方=2m方m方=2*k方(m方為偶數)所以 m為偶數所以 2為m,n公約數與 m,n互質矛盾所以根號2不是有理數得證
17樓：匿名使用者
假設存在這樣一個有理數p, p^2 = 2. 再設p = a/b， a、b是兩正整數，且既約，就是沒有除1外的共因子，使得(a/b)^2 = 2； 變形以後得a^2 = 2 * b^2，推出a^2是個偶數，同時為了滿足a^2是個平方數，那b^2必須包含一個因子2，所以a^2 / b^2不是既約的，那a/b也不是既約的啦！與前提矛盾，證得根號2不是有理數！
18樓：匿名使用者
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數,即最簡分數形式。
把 √2=p/q 兩邊平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p 必定為偶數，設p=2m由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
怎麼證明根號二是無理數
19樓：肖老師k12數學答疑
回答用反證法來證明
假定√2是有理數，即√2 = p/q，在這裡p和q是沒有公約數的正整數（沒有除1以外的其它正整數公因子），於是 p = √2q ，或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍，可知p2是個偶數，從而p必定是偶數。令p=2r，於是前面的等式成為4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是個偶數，從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數，它們有一個公約數2，這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是，由√2是有理數的假定引出了不可能的情況，因而這個假定必然是不對的
希望能幫助到你！
提問那√3又如何證明呢？
回答用類比推理唄！
√2已經證明了，√3就用√2來證明嘛！
更多6條
20樓：匿名使用者
假設根號2是有理數
那麼根號2可以由兩個互質的素數表示成p/q即根號2=p/q
p=根號2*q
兩邊平方得p^2=2*q^2
所以p^2為偶數
所以p為偶數
所以p^2為4的整數倍
所以q^2為偶數
所以q為偶數
得到p、q均為偶數，並不互質
與假設矛盾
所以根號2為無理數
怎麼證明根號2是無理數
21樓：還好知道點
此題可用反證法進行證明，具體證明過程如下：
假設根號2是有理數，則根號2可以表示為一個分數，因為任何一個有理數都可以表示為分數形式，不妨設根號2=a/b，其中a、b都是正整數，且為最簡，即不能再約分（即a、b只能一個為奇數，一個為偶數），很顯然，b≠1；
則兩邊分別平方，可得2=a²/b²
即a²可被b²整除，分兩種情況考慮
1、a為奇數、b為偶數，此時a²仍為奇數、b²仍為偶數，這時a²顯然不能被b²整除，即這種情況不滿足題意；
2、a為偶數、b為奇數，此時a能被2整除，則a²能被4整除，則a²/2仍為偶數，而根據假設a²/2=b²，此時b²應為奇數；但該情況時b為奇數，b²則也為奇數，即不滿足題意。
綜合考慮，由假設得出的結論均存在矛盾，則證明假設錯誤，原命題正確。
即根號2為無理數是正確的。
22樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
23樓：豐弼資谷秋
假設根號2是有理數
有理數可以寫成一個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
所以根號2是無理數
24樓：呆曉
無理數時指無限不迴圈小數，如果時有理數，可以寫成分母形式，根號二寫不了咯，所以就是無理數
25樓：匿名使用者
反證法如下：
假如根號2是有理數，那麼它一定可以用一個最簡的（不能再約分的）分數m/n表示，也就是m、n的最大公約數是1
則：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2，所以m^2是偶數
偶數的平方一定是偶數，反之亦然，若一個偶數是完全平方數，那它的平方根也一定是偶數，所以m是偶數
假設m=2k，，k是整數。那麼2*n^2=(2k)^2=4*k^2所以n^2=2*k^2，與上面同理
所以說n也是偶數
既然m,n都是偶數，那麼m/n就不是最簡分數，它們的最大公約數就不是1，至少2也是它們的公約數，很顯然2>1，與原題設的1是它們的最大公約數矛盾
故根號2是無理數
提高一下，如何證明根號3也是無理數呢？樓主自己去考慮
怎麼證明根號2不是無理數，證明根號2是無理數
p為質數時 設p 1 2 為有理數則p 1 2 m n m,n為互質的正整數 那麼p m 2 n 2 由此可知m 2可被p整除從而m也可被p整除,所以存在正整數k使得m p k 帶入上式得n 2 p k 2 得出n也能被p整除 m,n均能被p整除與m,n互質矛盾 所以p 1 2 為無理數 當p p1...
怎麼證明根號5是無理數求證根號5是無理數
1 設 5不是無理數而是有理數，則設 5 p q p，q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1 2 兩邊平方，5 p 2 q 2,p 2 5q 2 3 p 2含有因數5，設p 5m，代入 25m 2 5q 2,q 2 5m 2，q 2含有因數5，即q有因數5。4 這樣p,q有公因數5，這與假設p,q...
如何證明跟好5根號7都是無理數怎麼證明根號3是無理數，根號5呢，根號7等
兩個差不多的，就做一個根號5的 反證法 假設根號5為有理 數，則設根號5 a b，其中ab互質，ab為正整數則5 a 2 b 2，a 2 5b 2 從而a是5的倍數，從而左邊為25的倍數，從而b也是5的倍數，這與假設ab互質矛盾 從而根號5是無理數 希望能幫到您，望採納 通俗地說，無理數是不能化為分...