x,y,z是正實數,x y z 1,求u x 2 y 1 y y 2 z 1 z z 2 x 1 x 的最小值求過程

2021-08-26 10:26:28 字數 1748 閱讀 9620

1樓:匿名使用者

[[[注:應用“基本不等式”和“柯西不等式”來做]]][[[1]]]

由基本不等式可知

x²+y²≥2xy

y²+z²≥2yz

z²+x²≥2zx

三式相加整理可得

x²+y²+z²≥xy+yz+zx.

該不等式兩邊同加(2xy+2yz+2zx),可得(x+y+z)²≥3(xy+yz+zx)

結合x,y,z>0且x+y+z=1

可得 1/(xy+yz+zx)≥3

∴1/[2(xy+yz+zx)]≥3/2

易知,以上各不等式中的等號,僅當x=y=z=1/3時取得[[[2]]]

∵x+y+z=1

∴y(1-y)=y(x+z)=xy+yz

z(1-z)=z(x+y)=yz+zx

x(1-x)=x(y+z)=xy+zx

∴原式可化為

u=[x²/(xy+yz)]+[y²/(zx+yz)]+[z²/(xy+zx)]

由柯西不等式可知

[(xy+yz)+(yz+zx)+(zx+xy)]×≥(x+y+z)²

即2(xy+yz+zx)u≥1

∴u≥1/[2(xy+yz+zx)]≥3/2其中的等號僅當x=y=z=1/3時取得.

∴(u)min=3/2

2樓:南柯一夢之小

指數在**

一般這樣的題採取特殊值法吧

x=y=z=1/3

或者x=y=0,z=1

3樓:匿名使用者

你是大學呀,還是高中啊。這個用拉格朗日乘法,很簡單。令f(x,y,z,a)=u+a(x+y+z-1)=0,然後分別對x,y,z,a求偏導數並且令它們等於0.

最後應該得到x=y=z=1/3,得到u=1.5

已知x、y、z是正實數,x+y+z=1 求證1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)<=27/10

4樓:雀宜年禮詠

由柯西不等式得:(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2=1

3(x^2+y^2+z^2)>=1

x^2+y^2+z^2>=1/3

所以x^2>=1/9

;y^2>=1/9

;z^2>=1/9

所以1/

(1+x^2)<=1/(1+1/9)=9/101/(1+y^2)<=1/(1+1/9)=9/101/(1+z^2)<=1/(1+1/9)=9/10三式相加即;

1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)<=27/10如果有什麼不懂的,歡迎追問

如果對你有幫助,請給雙五星謝謝

已知x、y、z是正實數,x+y+z=1 求證1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)<=27/10 10

5樓:匿名使用者

由柯西不等式得:(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2=1

3(x^2+y^2+z^2)>=1

x^2+y^2+z^2>=1/3

所以 x^2>=1/9 ;y^2>=1/9 ;z^2>=1/9

所以 1/ (1+x^2)<=1/(1+1/9)=9/101/ (1+y^2)<=1/(1+1/9)=9/101/ (1+z^2)<=1/(1+1/9)=9/10三式相加即; 1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)<=27/10

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