1樓：匿名使用者
[[[1]]]
三元均值不等式:
x+y+z≥3[(xyz)^(1/3)]
等號僅當x=y=z時取得.
[[[[[解]]]]
由三元均值不等式可得:
[1]a²+b²+c²≥3[(abc)^(2/3)].
等號僅當a=b=c時取得
[2]∵(1/a)+(1/b)+(1/c)≥3/[(abc)^(1/3)]
∴兩邊平方,可得:
[(1/a)+(1/b)+(1/c)]²≥9/[(abc)^(2/3)]
等號僅當a=b=c時取得
[3]再由二元基本不等式a+b≥2√(ab),可得
3[(abc)^(2/3)]+≥2√27=6√3
等號僅當abc=3^(3/4)時取得.
[4]由上面可知,上面的兩個式子相加,可得
a²+b²+c²+[(1/a)+(1/b)+(1/c)]²≥3[(abc)^(2/3)]+≥6√3
等號僅當a=b=c,且abc=3^(3/4)時,即a=b=c=3^(1/4)時取得.
∴原式的最小值為6√3
2樓：匿名使用者
解：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2當且僅當 a=b=c時有最小值
3a^2+9/a^2≥2√(3a^2x9/a^2)=6√3當且僅當 3a^2=9/a^2即 a=3^(1/4)時有最小值6√3
已知a,b,c均為正數，證明：a^2+b^2+c^2+（1/a+1/b+1/c）^2>=6√3
3樓：匿名使用者
證明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca 由均值不等式：1/a^2+1/b^2>=2/ab1/b^2+1/c^2>=2/bc1/c^2+1/a^2>=2/ca 上三式相加得2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=2(1/ab+1/bc+1/ca)也即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=1/ab+1/bc+1/ca
所以a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca>=a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)>=2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)>=6√3
得證。。
4樓：匿名使用者
證明：（證法一）
因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得 {a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13①
所以 (1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②（
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23．
又 3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③
所以原不等式成立
當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立．當且僅當 3(abc)23=9(abc)-23時，③式等號成立．
即當且僅當a=b=c= 314時，原式等號成立．
（證法二）
因為a，b，c均為正數，由基本不等式得 {a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理 1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac
≥63所以原不等式成立．
當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立，當且僅當a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3時，③式等號成立．
即當且僅當a=b=c= 314時，原式等號成立
高二數學。已知a,b,c均為實數，求證：a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2
5樓：cn豆叮
(1)(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
a^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c時等號成立)
(2)a+b+c=x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-7/2=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+1/2＞0
∴a.b.c中必有一個大於0
6樓：匿名使用者
（1）分析法：
首先這裡應該是a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2才對
如果a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2，那a，b，c就應該是不相等的實數
要證（a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2
只需證3（a^2+b^2+c^2）>=(a+b+c)^2
又(a+b+c)^2=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
所以要證3（a^2+b^2+c^2）>=(a+b+c)^2
只需證2（a^2+b^2+c^2）>=2ab+2ac+2bc
即要證（a²+b²）+（a²+c²）+（b²+c²）>=2ab+2ac+2bc，
又a²+b²>=2ab，a²+c²>=2ac，b²+c²>=2bc，
所以（a²+b²）+（a²+c²）+（b²+c²）>=2ab+2ac+2bc得證（當a=c=c時，取等號；如果a，b，c不相等就不取等號）
（2）反證法：
假設a<=0,b<=0,c<=0
這樣a+b+c<=0
而a=x^2-2y+1/3,b=y^2-2z+3,c=z^2-2x+1/6
所以a+b+c=x^2-2y+1/3+y^2-2z+3+z^2-2x+1/6
=x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-zx+1+1/2
=（x-1）²+（y-1）²+（y-1）²>0
這裡假設a+b+c<=0與題目所得a+b+c>0矛盾，所以假設不成立
所以a,b,c中至少有一個大於0
7樓：匿名使用者
不等式兩側去分母后，左方的平方後，可以消去一部分，最後可以形成三個完全平方式的
已知a,b,c為有理數,且滿足a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值
8樓：電燈劍客
先通分得到
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=0
因式分解得到
(a+b+c)(ab+bc+ca)=0
另一個條件是
(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=1
解出三組解(a+b+c, ab+bc+ca)：(1,0), (-1,0), (0,-1/2)
前兩組解符合條件，比如取(a,b,c)=(-1/3,2/3,2/3)或(1/3,-2/3,-2/3)；
但是最後一組不符合，因為a+b+c=0得到a^2+b^2+(a+b)^2=1，利用求根公式可以得到
b=[-a+sqrt(2-3a^2)]/2或b=[-a-sqrt(2-3a^2)]/2
利用關於模8同餘容易說明方程2x^2-3y^2=z^2沒有非零解，所以a,b,c不能同時是有理數。
最後得到a+b+c=1或a+b+c=-1。
已知a,b,c均為實數,求證a^2+b^2+c^2大於等於1/3(a+b+c)^2
9樓：沒好時候
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bca^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c時等號成立)
已知a,b,c均為正整數，且滿足a 2 b 2 c 2,又a為質數，證明 2 a b 1 是完全平方數
證明 由a bai2 b du2 c 2 得，a 2 c 2 b 2 c b c b 因a是質數，zhi 則c b 1,顯然c b c b 則a 2 c b b 1 b b 1 a 2 b,那麼，daoa b 1 a a 2 b a 2 2a 1 a b 1 或寫成 2 a b 1 a 1 2,為完...
a 2 b 2 c 2 1用高等數學中求多元函式極值的方法
先列出方程bai組 b c 2a 0,a c 2b du 0,a b 2c 0,a b c 1.前三式zhi兩兩相減得 2 1 a b 0,2 1 b c 0.若2 1 0,則daoa b 0,b c 0,即a b c.代回解得a b c 1 3,1,對應ab bc ca 1.可驗證函式專ab bc...
如果a2 b2 c2 1，a b c 0，化簡或求值 a
解答 解 a2 1b 1c b2 1a 1c c2 1a 1b a2b a2c b2 a b2c c2a c2b a2b c2b a2c b2c b2a c2a a2 c2b a2 b2c b2 c2a 1 b2b 1 c2c 1 a2a 1a 1 b 1c a b c ab bc ac abc a...