1樓:匿名使用者
二重積分分步積分。先對dy積分。y的上限是x,下限是x^2
∫[sinxy/x]dx=∫(sinx-xsinx)dx=[-cosx+xcosx-sinx] x的上限是1,下限是0
-cos1+1*cos1-sin1-[-cos0-sin0]=1-sin1
(2):
圓錐體的回
體積答:∫∫∫dxdydz=∫∫[z]dxdy z的上限是x^2+y^2,下限是0
=∫∫(x^2+y^2)dxdy化為極座標∫∫r^3dθdr=[r^4/4][2π]=8π
關於二重積分三重積分的聯絡
2樓:分公司前
二重積分:有兩個自變數z = f(x,y)
當被積函式為1時,就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時,就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換:{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ
三重積分:有三個自變數u = f(x,y,z)
被積函式為1時,就是體積、旋轉體體積(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = v(旋轉體體積)
當被積函式不為1時,就沒有幾何意義了,有物理意義等
計算方法有直角座標法、柱座標切片法、柱座標投影法、球面座標法、雅可比換元法等
極座標變化(柱座標):{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z1→z2) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ
極座標變化(球座標):{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大範圍:0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍:0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r2sin2φ drdφdθ
所以越上一級,能求得的空間範圍也越自由,越廣泛,但也越複雜,越棘手,而
且限制比上面兩個都少,對空間想象力提高了.
重積分能化為幾次定積分,每個定積分能控制不同的伸展方向.
又比如說,在a ≤ x ≤ b裡由f(x)和g(x)圍成的面積,其中f(x) > g(x)
用定積分求的面積公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升級的二重積分,面積公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被積函式變為1了
用不同積分層次計算由z = x2 + y2、z = a2圍成的體積?
一重積分(定積分):向zox面投影,得z = x2、令z = a2 --> x = ± a、採用圓殼法
v = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x3 dx = 2π • (1/4)[ x4 ] |(0→a) = πa4/2
二重積分:高為a、將z = x2 + y2向xoy面投影得x2 + y2 = a2
所以就是求∫∫(d) (x2 + y2) dxdy、其中d是x2 + y2 = a2
v = ∫∫(d) (x2 + y2) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r3 dr、這步你會發覺步驟跟一重定積分一樣的
= 2π • (1/4)[ r4 ] |(0→a) = πa4/2
三重積分:旋轉體體積,被積函式是1,直接求可以了
柱座標切片法:dz:x2 + y2 = z
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→a2) dz ∫∫dz dxdy
= ∫(0→a2) πz dz
= π • [ z2/2 ] |(0→a2)
= πa4/2
柱座標投影法:dxy:x2 + y2 = a2
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r2→a2) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a2 - r2) dr
= 2π • [ a2r2/2 - (1/4)r4 ] |(0→a)
= 2π • [ a4/2 - (1/4)a4 ]
= πa4/2
三重積分求體積時能用的方法較多,就是所說的高自由度.
既然都說了這麼多,再說一點吧:
如果再學下去的話,你會發現求(平面)面積、體積 比 求(曲面)面積的公式容易
學完求體積的公式,就會有求曲面的公式
就是「曲線積分」和「曲面積分」,又分「第一類」和「第二類」
當被積函式為1時,第一類曲線積分就是求弧線的長度,對比定積分只能求直線長度
∫(c) ds = l(曲線長度)
被積函式不為1時,就是求以弧線為底線的曲面的面積
∫(c) f(x,y) ds = a(曲面面積)
當被積函式為1時,第一類曲面積分就是求曲面的面積,對比二重積分只能求平面面積
∫∫(σ) ds = a(曲面面積)、自由度比第一類曲線積分大
∫∫(σ) f(x,y,z) ds,物理應用、例如曲面的質量、重心、轉動慣量、流速場流過曲面的流量等
而第二類曲線積分/第二類曲面積分以物理應用為主要,而且是有"方向性"的,涉及向量範圍了.
區別講明白(比如二重積分求的是什麼三重積分求什
3樓:珈嶶信
一重積分來積的是線上的
權重,如源果用圖形表示出來bai就是du圖形面積。
二重積分積
zhi的是面上dao的權重,如果在面上面畫出權重,相當於一個圖形的體積。
三重積分積的是一個三維圖形的權重,如果在三維圖形中積了每個點的權重,相當於是計算了這個圖形的質量。
積分,二重積分,三重積分,它們的幾何意義與物理意義各是什麼
定積分的幾何意義是曲邊梯形的有向面積，物理意義是變速直線運動的路程或變力所做的功 二重積分的幾何意義是曲頂柱體的有向體積，物理意義是加在平面面積上壓力 壓強可變 三重積分的幾何意義和物理意義都認為是不均勻的空間物體的質量。積分是英國物理學家牛頓和德國數學家萊布尼茲在各自領域中研究變力做功 牛頓 和曲...
高斯公式是說三重積分與二重積分的關係麼
高斯公式來又叫高斯定理 源 或散度定理 向量穿過任bai意閉合曲面的du通量等於向量的散度對閉合面zhi所包圍的體積的積dao 分它給出了閉曲面積分和相應體積分的積分變換關係,是向量分析中的重要恆等式。是研究場的重要公式之一。公式為 f ds fdv 是哈密頓算符 f s為向量 高斯定理在物理學研究...
二重積分和三重積分的幾何意義，物理意義分別是什麼
定積分的幾何意義是曲邊梯形的有向面積,物理意義是變速直線運動的路程或變力所做的功。二重積分的幾何意義是曲頂柱體的有向體積,物理意義是加在平面面積上壓力 壓強可變 三重積分的幾何意義和物理意義都認為是不均勻的空間物體的質量。積分的線性性質 比較性 估值性 性質5 如果在有界閉區域d上f x,y k k...