1樓:爾冉
首先e不等於(1+1/n)^n,你取n=1看看。
只有當n→∞時,
e=(1+1/n)^n。
首先需要二項式定理:
(636f707962616964757a686964616f31333337386636a+b)^n=∑ c(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)
用數學歸納法證此定理:
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此,n=1時,式一成立。
設n1為任一自然數,假設n=n1時,(式一)成立 ,即:
(a+b)^n1=∑ c(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)
則,當n=n1+1時:
式二兩端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ c(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
= (a+b)^(n1+1)= ∑ c(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據乘法分配律)
因此二項式定理(即式一成立)
下面用二項式定理計算這一極限:
(1+1/n)^n (式一)
用二項式得:
(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + ... +[(n(n-1)(n-2) ...3)/((n-2)(n-1) ... 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) ...3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) ... 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) ...3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) ... 2*1)]*(1/n)^n
由於二項式係數項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數相同,而係數為1,因此,最高次項與(1/n)的相應次方剛好相約,得1,低次項與1/n的相應次方相約後,分子剩下常數,而分母總餘下n的若干次方,當n - +∞,得0。因此總的結果是當n - +∞,二項式係數項的各項分子乘積與(1/n)的相應項的次方相約,得1。餘下分母。
於是式一化為:
(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ ... + 1/n! (式二)
當n - +∞時,你可以用計算機,或筆計算此值。這一數值定義為e。
1 1為什麼等於，1 1為什麼等於
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1 1為什麼等於2呢，1 1為什麼等於2？
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