1樓：匿名使用者
^解∵f(x)具有任意階導數，且f'(x)=[f(x)]^2∴f''(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]^3f'''(x)=3![f(x)]^4
.........
f(x)的n階導數=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.....）
現在用數學歸納法證明它的正確性：
(1)當n=2時，左邊=2f(x)f'(x)=2[f(x)]^3右邊=2![f(x)]^3=2[f(x)]^3∴左邊=右邊，原式成立。
(2)假設當n=k時，原式成立，即f(x)的k階導數=k![f(x)]^(k+1)
當n=k+1時，左邊=f(x)的(k+1)階導數=k!(k+1)[f(x)]^k*f'(x)=(k+1)![f(x)]^k*[f(x)]^2=(k+1)![f(x)]^(k+2)
=右邊綜合(1),(2)知f(x)的n階導數=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.....）
2樓：
^f(x)的n階導數為：___n!×f(x)的(n+1)次方__歸納法：
f'(x)＝[f(x)]^2
f''(x)＝2[f(x)]×f'(x)＝2[f(x)]^3f'''(x)＝3[f(x)]^2×f'(x)＝6[f(x)]^4……f(x)的n階導數＝n! [f(x)]^(n+1)
3樓：匿名使用者
^f'(x)=[f(x)]^2
所以f''(x)=2*f(x)*f'(x)=2*[f(x)^3]f'''(x)=2*3*[f(x)^2]*f'(x)=2*3[f(x)^4]
然後就是數學歸納法了
假設f(x)的n階導數為n!*[f(x)^(n+1)]顯然對一階導數成立
如果假設成立
那麼對n-1階導數也成立
設f(x)的n-1階導數為
(n-1)!*[f(x)^n]
那麼f(x)的n階導數就是對
(n-1)!*[f(x)^n]求導
求導後為
（n-1）!*n*[f(x)^(n-1)]*f'(x)=n!*[f(x)^(n+1)]
所以假設正確
4樓：豬_堅強
還有f'(x)=dy/dx=y^2
dx=dy/y^2
對兩端積分，有
x+c=-1/3y^3
y=f(x)=-1/(x+c)^(1/3)代入即可
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