1樓：匿名使用者
要明白，這裡不是為了驗證這個函式有沒有極限，在這裡，已經實事先設定函式是有極限的。現在是在有極限的情況下，證明區域性保號。所謂區域性保號，是說如果極限點的極限不是0的話，說在極限點附近的某個小區域（區域性）內，符號和極限點的極限符號相同。
所以我們只要找到這樣一個區域性，就證明了這個定理了。至於除了這個區域性，還有沒有其他的區域性也符合要求，無所謂了，反正找到一個就行了。
而既然ε是任意的，那麼我們完全可以人為的取一個ε=a/2來找尋這個區域性。
當然ε=a/3，ε=a/4，ε=a/5等等，都能證明。但是只要在這些中間隨便選一個就行了，不用一一都帶入。
你覺得取ε=a/2不爽，想取ε=a/3，ε=a/4等等，隨便啊，可以取那些值，反正大於a/2的ε就不行了，無法保證這樣的區域性都是保號的了。
2樓：再看見他
ε是可以任取的，你想取ε/3也可以。
這裡討論的是存在性問題，又不是普遍性問題。是存在一個小區間使得f(x)>a/2，但是每個區間都大於a/2。而且這個區間的範圍還是跟ε的取值有關的，你的ε變了，這個區間的範圍也變了。
3樓：匿名使用者
是可以任取的。並且在高等數學中，∑是任意小的一個數，因為a是不確定的，但是可以存在一個a等於∑，那麼a/2就是比任意小還小的一個數。你的問題中，a/3是不是比a/2還小呢？
那f(x)肯定可以大於a/3.但是在某些時候取a/2是為了計算方便。(那個符號實在找不到，用了連加符號?)
高數中關於函式極限的保號性證明的問題。 如圖為什麼讓ε=a/2,ε在定義中不是說過
4樓：匿名使用者
需要區分情況。
①如果是【證】極限，ε必須是任取的。
②本問題中，已知極限存在，即已滿足極限定義，即對任取的ε，極限定義語都成立，
因此對具體取定的ε=a/2也成立，
這是【用】極限。
另，在定理3中，當a>0時，如果取ε=a/3，則得到f(x)>2a/3>0，
在此關鍵是得到f(x)>0，而不是f(x)具體大於幾。
高數問題，如圖書中關於函式極限保號性的證明，證明過程中為什麼令ε=a/2 而且根據此退出定理3'，
5樓：匿名使用者
參看
高數函式極限區域性保號性證明中ε =a/2，若取2a就得f(x)>-a，就不能說f(x)>0了是不是？（見補充）
6樓：匿名使用者
我的理解是，這個證明是嚴密的，它的重點是要說明存在常數δ，就是找到一個δ就叫做存在。證明的過程就是在說明他找到了那一個δ，怎麼說明的呢？因為函式有極限，所以根據ε-δ定義，δ=f(ε),這裡的ε是指小正數，關鍵在於一個小字，如果你取 了2a，那麼他也許就不夠小了，證明給的是取a的一半，然後根據ε與δ之間的關係，必然存在一個δ可使結論成立，當然這裡ε的取值可以有很多，但是沒有必要把所有的成立的ε取值都列出來，因為關鍵只要找到一個δ，就叫做存在δ了。
不知道我這麼說能不能幫到你，至於a=0時，這個定理就沒有意義了，為什麼叫保號定理？保號保號，保的就是x0附近很小一個空心領域內所有點的符號，保證這些點的符號都跟a的符號一致，才叫保號嘛，等於0就沒有符號而言了。
當然以上是我個人見解，不到之處還請見諒。
7樓：千葉郎君
上面的仁兄描述比較完整，但我覺得可以精練一下。
一、這個證法很嚴密。
如果你是學《數學分析》的話，「缺什麼東西就去想法找一個」這種想法是司空見慣的，思維一定要「大膽活躍」。
完全是利用ε-δ語言（逆向運用）來證明的。
只是你已經習慣了「任意ε>0，去找一個δ使當0<|x-x『|<δ成立時，|f(x)-a|<ε，」從而證明極限的思考模式。
現在已知極限，那麼也就是說對「任意一個ε>0，都會有相應的δ，使當0<|x-x『|<δ成立時，
|f(x)-a|<ε」。所以我就取這個任意的ε為a/2，帶入上面的關係得到保號性。
當然你也可以取ε為2a，只不過得到f(x)的範圍更大，不能說明「保號性」，但並不是「說明不具有保號性」。（0<ε 二、關於0這個點： 「零的任何鄰域中總包含正數和負數」 這一句話就能說明a為什麼不為0. 函式極限的區域性保號性證明中，取的是ε=a／2，那如果取ε>a就證明不了了啊，很困惑，求指點！謝謝！
5 8樓：餘巷騎士 首先從定義入手 大家都知道極限的定義是對於任意ξ＞0，既然它敢給任意大於回零這個條件，那麼我答們必須得承認，ξ是可以取2a，甚至10000a都可以。 其次再次從定義出發 對於任意ξ＞0，存在δ＞0，當x-x0的絕對值＞0小於δ時，有fx-a的絕對值＜ξ 注意！這個fx-a的絕對值的範圍並不是它的值域。而是它的客觀描述。比如 -10000＜4＜10000成立 1＜4＜5也成立 這句話的意思是，無論你ξ取多大，和我客觀fx的極限就趨近於a是無關的。 舉個例子。你給我整個世界，我都在你身邊。 所以現在就可以解釋你的疑問了。 如果ξ取2a，-a＜fx＜3a仍然成立，但這只是一種客觀描述，因為任意一個正整數都可以大於一個小於它的正整數更可以大於一個負數。這個區間的描述並不影響fx本身＞0的這件事情。就好像我們上面舉的2的那個例子一樣。 9樓：匿名使用者 因為題幹中是要求存在而不是任意。所以只要求出一個滿足條件的ε就可以了 10樓：匿名使用者 在極限的定義中的ε是可以任意小的正數， 如果取ε>a(>0)，就不符合定義中的ε了。 高數同濟六版中，證明極限的保號性時，為何取 ε=a/2，如果我取非a的值，比如 ε=1，該如何證明？ 11樓：匿名使用者 取a/2是為了能讓大家更好的理解，它是一個任意小的數，只要說明小於a就可以得到xn大於0 了 為什麼函式保號性中 ε =a/2 12樓：匿名使用者 這個問題已經困擾我好幾天了，有一種烏雲壓頂的感覺。現在烏雲漸漸散開了，我似乎慢慢接近太陽了。好舒服。 為什麼 ε非得取a/2呢？鬼啊，為什麼？ 高數老師幽幽的說道：「因為這樣好證啊，你記住就行了」。 我：「哼，我不管我不管，我要讓 ε=2a」。 高數老師滿臉鄙視的看著我：「這孩子怕是傻子吧」。 嗯，可能吧。。。 a〉0因為 lim xn = a；所以我可以任意玩弄 ε。 對於 ε=2a，存在n1〉0，當n〉n1時，有|xn - a|<2a成立。 即-a〈xn〈3a 成立。 對於 ε=a/2，存在n2〉0，當n〉n2時，有|xn - a|即0取n=max 因為 ε越小，n越大， ε越大，n越小， 所以 n=n2 故存在n〉0，當n〉n=n2時，有|xn -a|so。。。。。。。。xn >0 上面所講，跳出極限的本質，因為不想和它糾纏過多，太tm饒人，但是為了更加深入的理解，只能從極限本質講起，我儘量講通俗些： a>0，已知 lim xn = a (n趨近於+∞)； 我們現在只知道，n=+∞時，xn=a；其他的一概不知； 對於 ε=2a，先上圖： 我站在世界的盡頭，好舒服。 前方一片黑暗，我也沒有燈光，只能瞎著眼睛，這讓我很難受。 因為 ε=2a，所以我只能在藍色區域找n1，好在有藍色的邊界，使我不至於太過盲目。我找啊找，找到了，哈哈。 （即：對於 ε=2a，存在n1〉0，當n〉n1時，有|xn - a|<2a成立。） 但是我不知道當n=n1時，xn等於什麼，假設它等於b吧， 很顯然-a在風中的我有些迷茫... 藍色的區域太大了，我得想辦法縮小範圍才行... 讓 ε=a試試看，先上圖： 變小了，我再找找n2，我找啊找，找到了。 （即：對於 ε=a，存在n2〉0，當n〉n2時，有|xn - a|但是我不知道當n=n2時，xn等於什麼，假設它等於c吧， 很顯然0可我感覺藍色範圍還是有點大... 讓 ε=a/2試試，先上圖： 變小了，我再找找n3，我找啊找，找到了。 （即：對於 ε=a/2，存在n3〉0，當n〉n3時，有|xn - a|但是我不知道當n=n3時，xn等於什麼，假設它等於d吧， 很顯然a/2使藍色的區域，變成一個點，是我的夢想。 因為只有這樣，才能在我只知道a>0時，使xn=a>0; 但是不可能，雖然我可以找到一個比較大的n1，但總有更大的n2，大於它， 所以我必須儘可能使ε變小，縮短藍色區域，才有助於我找到更大的n3， 從而使xn更接近於a，直到等於它。 只有這樣，我才能更加準確的判斷xn是大於0的。 畢竟d的範圍，比b，c更讓我放心。 也更直**到，xn>0. 這就是為什麼課本上取a/2的原因， 而讓ε取比a/2更小的數，那就更酷了。 如果還不能理解的話，那我只能放大招了... 我愛吃火鍋，以成都火鍋為例，來理解為什麼要取a/2... 保號性講的大概是： 已知成都人貌似愛吃火鍋（lim xn = a>0），我只要在中國範圍內（n>0），找到一個城市（存在n），使比城市n更接近成都的城市，最愛的食物裡恆有火鍋，就可以證明成都人愛吃火鍋。（xn>0）。 注意！！！ 把最愛的食物記在集合裡，如 離成都越近，能寫的食物越少。（n越大，ε越小） 以下最愛的食物純屬虛構... 想想看，如果找的城市最接近成都，甚至它就是成都，那證明成都人愛吃火鍋，是不是更具有說服力？ show time： 我來到了海南（ε=2a），最愛的食物有； 我來到了長沙（ε=a ），最愛的食物有； 我來到了重慶（ε=a/2）, 最愛的食物有； 我來到了德陽（ε=a/4）, 最愛的食物有； 為什麼取重慶呢，可能就是因為它知名度高，一線城市... 函式極限的保號性問題，在高數37頁的定理3『有結論|f（x）|>|a|/2怎麼證明啊 13樓： 取ε＝|a|/2，用極限定義 對ε＝|a|/2，存在正數δ，當0＜|x－x0|＜δ時，有|f(x)－a|＜ε＝|a|/2，所以|f(x)|＝|f(x)－a＋a|≥|a|－|f(x)－a|＞|a|/2 14樓：匿名使用者 從未看過高數書的人飄啊飄... 15樓：匿名使用者 題打錯了f（x）|？？ 教材上有推論，推論如果在x的某去心鄰域內f x 0 或f x 0 而且limf x a,那麼a大於等於0。成立 如果在x0某去心鄰域內f x 0，那麼極限a大於等於0。limf x a x趨於無窮。由f x 0不能推出極限a 0 反例 f x 1 x 1 x雖然大於0，但它的極限等於0。逆定理不成立... 一 函式與極限常量與變數函式函式的簡單性態反函式初等函式數列的極限函式的極限無回窮大量與無 答窮小量無窮小量的比較函式連續性連續函式的性質及初等函式函式連續性 二 導數與微分導數的概念函式的和 差求導法則函式的積 商求導法則複合函式求導法則反函式求導法則高階導數隱函式及其求導法則函式的微分 三 導數... 因為,右極限的表示式上下都除了 e 1 x 如果不出上下都有 e 1 x 它的右極限已知為正無窮,所以上下要先除 這個高中生還沒學到,高等數學稱為左右極限。只有函式連續且左右極限相等,我們才說極限存在。高數求解一個極限的問題,為什麼這個函式左右極限不同?左極限和右極限分別怎麼算出來的?x從左側 0時...高數問題，函式極限保號性定理的逆定理成立嗎？（在x0某去心鄰域內f x 0，那麼極限A大於0嗎
高數函式與極限,高等數學的函式與極限
高數通過求左右極限來確定函式在0點的極限問題,如題圖