關於反三角函式為何是多值函式的問題

2021-09-06 13:17:41 字數 945 閱讀 5629

1樓:德洛伊弗

呵呵,看得出來lz是經過自己思考的,這很好~~

按照中學裡反函式的定義,lz的理解基本正確!只是"1"有一點小問題:f有反函式的充要條件是f為單射,並不一定f嚴格單調。

如果定義在某區間上的函式f連續,那麼f為單射等價於f嚴格單調。如果f不連續,那麼f有反函式未必需要f嚴格單調。

除此之外,2, 3, 4都是正確的。在嚴格的函式意義下,三角函式整體不是單射,無反函式。三角函式限定在一個單調區間內形成了一個新函式,反三角函式是指這個新函式的反函式。

由於原函式是單調的,反三角函式確實也是單調的。

當然,以上討論限制在嚴格的函式概念上。書上說的意思是允許考慮所謂“多值函式”,這裡要注意,多值函式不是嚴格意義上的函式,因為一個自變數可能應該到多於一個的函式值。

用對映的語言說,f:a->b是個滿射. 如果f不單,那麼f逆不是對映。

但是如果對任意y∈b,定義f^(y)=, 儘管f^未必是對映,還是可以把f^稱為b->a的一個“多值函式”,這時f^在某點處的值可能並不是一個數而是一個集合。“多值函式”實際是函式概念的一種推廣。

以f(x)=sinx, x∈r為例。它不是單射,無嚴格意義下的反函式,因為對y∈[-1,1], 滿足sinx=y, x∈r的x不止一個。但在上面所說的“多值函式”意義下,f可以有反函式f^, f^在某點取值為一個數集,例如f^(0)=.

簡單來說,你的理解基本沒問題。書上這樣說是因為它考慮了多值函式,這已經超出了嚴格意義上的“函式”概念,是一種推廣的函式。

2樓:匿名使用者

你搜一下反三角函式影象,在點正負π/2處,反三角函式數值趨於無窮,週期是π,在相應區間為單調函式。在正負π/2區間,三角函式正好單調。

2、3正確

單調和多值是兩個概念,我學的時候沒涉及到多值這個概念,所以我覺得,應為反三角函式在相應區間單調,在週期點趨於無窮,所以對應的函式值是無窮多個,即指多值

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