一元三次方程的解法，求一元三次方程的解法。詳細一點

1樓：匿名使用者

一元三次方程求根公式　　一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d=0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。卡爾丹公式的推導　　第一步：

ax^3+bx^2+cx+d=0

為了方便，約去a得到

x^3+kx^2+mx+n=0

令x=y-k/3 ，

代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，

(y-k/3)^3中的y^2項係數是-k ，

k(y-k/3)^2中的y^2項係數是k ，

所以相加後y^2抵消 ，

得到y^3+py+q=0，

其中p=(-k^2/3)+m ，

q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

第二步：

方程x^3+px+q=0的三個根為：

x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，

其中w=(-1+i√3)/2。

×推導過程：

1、方程x^3=1的解為x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；

2、方程x^3=a的解為x1=a^(1/3)，x2=a^(1/3)ω，x3=a^(1/3)ω^2 ，

3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。

再令x=y-s/3,代入可消去次高項，變成x^3+px+q=0的形式。

設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，

如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，

由一元二次方程韋達定理u^3和v^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的兩個根。

解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

不妨設a=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),b=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

則u^3=a；v^3=b ，

u= a^(1/3)或者a^(1/3)ω或者a^(1/3)ω^2 ；

v= b^(1/3)或者b^(1/3)ω或者b^(1/3)ω^2 ，

但是考慮到uv=-p/3，所以u、v只有三組解：

u1= a^(1/3)，v1= b^(1/3)；

u2=a^(1/3)ω，v2=b^(1/3)ω^2；

u3=a^(1/3)ω^2，v3=b^(1/3)ω，

最後：方程x^3+px+q=0的三個根也出來了，即

x1=u1+v1=a^(1/3)+b^(1/3)；

x2=a^(1/3)ω+b^(1/3)ω^2；

x3=a^(1/3)ω^2+b^(1/3)ω。卡爾丹公式　　方程x^3+px+q=0，（p，q∈r）

判別式△=(q/2)^2+(p/3)^3。

x1=a^(1/3)+b^(1/3)；

x2=a^(1/3)ω+b^(1/3)ω^2；

x3=a^(1/3)ω^2+b^(1/3)ω。

這就是著名的卡爾丹公式。卡爾丹判別法　　當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根；

當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等；

當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的實根。

編輯本段根與係數的關係　　設ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根為x1，x2，x3，則

x1+x2+x3=-b/a；

x1x2+x2x3+x1x3=c/a；

x1x2x3=-d/a。

編輯本段一個三次方求根計算方法　　下面介紹一個三次方求根計算方法：

x(n+1)=xn+[a/x^2-xn）1/3

n,n+1是下角標，a被開方數。

例如，a=5，5介於1的3次方至2的3次方之間。x0可以取1.1；1.

2；1.3；1.4；1.

5；1.6；1.7；1.

8；1.9；2.0我們可以隨意代入一個數，例如2，那麼：

第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=x1；

第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=x2；

第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=x3；

每次多取一位數。公式會自動反饋到正確的數值。

2樓：

x=1,左邊=6-7+1=-1+1=0

右邊=0

左邊=右邊

使等式成立

x=1是原方程的根

（x-1)(ax^2+bx+c)=0(a/=0)(x-1)(ax^2+bx+c)=6x^3-7x^2+1ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=6x^3-7x^2+1

a=6,b-a=-7,c-b=0,-c=1b=a-7=6-7=-1

c=-1

(x-1)(6x^2-x-1)=0

(x-1)(3x+1)(2x-1)=0

x1=1,x2=-1/3,x3=1/2

因為提取出一個x出來，總共是3次方程，剩下的一定是一個二次三項式所以可以設出這個二次三項式，然後待定係數的方法解出來就可以了。

恆等式。

3樓：我不是他舅

怎麼麻煩了？

湊出x-1

則6x³-6x²-x²+1=0

6x²(x-1)-(x+1)(x-1)=0(x-1)(6x²-x-1)=0

(x-1)(3x+1)(2x-1)=0

4樓：匿名使用者

6x³-7x²+1=0

6x³-6x²+1-x²=0

6x²(x-1)-(x+1)(x-1)=0(6x²-x-1)(x-1)=0

求一元三次方程的解法。詳細一點

一元三次方程的解法，求一元三次方程的解法。詳細一點

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax 3 bx 2 cx d 0的標準型一元三次方程形式化為x 3 px q 0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程 一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形...