1樓：網友
柯西方程是函式方程 f(x+y)=f(x)+f(y)
此方程的解稱為加性函式。
柯西方程是函式方程。
f(x+y)=f(x)+f(y)
此方程的解稱為加性函式，在有理數定義域上，利用初等代數我們很容易得出有一組函式滿足條件，是f(x)=cx,其中c是任意實數。定義域是實數時，同樣有一族函式滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到f(x)=cx，以下條件可得f(x)是正比例函式：
此春衝f是連續函式（在1821年已被柯西證明），後來在1875年被達布將條件森敬減弱為f在某點連續 。
存在a,b∈r,(a0,使森殲得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0
另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理成立），那麼有無窮非f(x)=cx的函式滿足該條件，這是1905年哈默(georg hamel)利用哈默基的概念證明的。
希爾伯特第五問題是該方程的推廣。
存在實數c使得f(cx)≠cf(x)解稱為柯西-哈默方程(cauchy-hamel function),希爾伯特第三問題中，從3-d向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變數（dehn-hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。
2樓：網友
已知對於任意x,y>0,函式f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),且f』(1)存在，求f(x)的乙個通解｡
解兆磨：令xy=a,y=b,則x=a/y=a/b,帶入得f(a)=f(a/b)+f(b),所以派皮有f(x/y)=f(x)-f(y)｡
令x=y=1得f(1)=2f(1),所以有f(1)=0｡
根據導數的定義。
f』(x)=lim(s→0,(f(x+s)-f(x))/s)
lim(s→0,f((x+s)/x)/s)
lim(s→0,(1/x)f(1+s/x)/(s/x))
lim(s/x→0,(1/x)f(1+s/x)/(s/x))=f』(1)/x｡
兩邊同時積分得f(x)=f』(1)ln(x)+c｡
令x=1,f(1)=f』(1)ln(1)+c=0+c,c=f(1)=0｡
所以有f(x)=f』(1)ln(x),令a=exp(1/f』塵猜差(1)),ln(a)=1/f』(1)
帶入得，f(x)=ln(x)/ln(a)=log(a,x)｡
柯西積分公式是什麼?
3樓：網友
柯西積分公式是證明一系列解析函式重要性質行銷的工具，首先是證明了圓盤上的解析函式一定可展為冪級數
從而證明了a.-l.柯西與k.魏爾斯特拉斯。
關於解析函式兩個定義的等價性，其次證明了解析函式是無限次可微的，從而其實部與虛部也是無限次可微的調和函式。
柯西積分定理。
柯西積分定理（或稱柯西－古薩定理），是乙個關於複平面。
上全純函式的路徑積分。
的重要定理。柯西積分定理說明，如果從一點到另一點有兩個不同的路徑，而函式在兩個路徑之間處處是全純的，則函式的兩個路徑積分是相等的。
另乙個等價的說法是，單連通閉合區域上的全純函式沿遲扮著任碼帶灶何可求長閉合曲線的積分是0。
柯西不等式積分形式的幾何意義是什麼
4樓：網友
只要是cauchy不等式，幾何上都是：從向量a往單位向量b做垂直投影，投影長度小於斜邊（就是向量a）的長度。
5樓：捷陽霽
[∫(f(x)g(x))dx]^2≤(∫f(x)]^2dx)*(g(x)]^2dx)
在高年級學了賦範空間，前面表示∫(f(x)g(x))dx表示f(x)與g(x)的內積。
f(x)]^2dx ∫[g(x)]^2dx表示f(x)和g(x)的範數(相當於長度)的平方。
這類似於向量。
a,b)^2≤|a|^2|b|^2
柯西不等式的積分形式如何證明？
6樓：數學聯盟小海
比較常用的是判別式法。
構造 ∫(f-tg)^2>=0，得到關於t的二次函式。
利用判別式<=0得證。
柯西積分公式一般形式的證明
7樓：丘冷萱
證明：做輔助線l1，l2，..lk，l將大圈與小圈連線。
觀察下面兩條曲線：γ1：從b出發，沿大圈上半部分到a，然後l1，然後c1的上半部分，然後l2，然後c2的上半部分，..
ck的上半部分，然後l，回到b，在這條閉曲線內，f(z)解析。γ2：從a出發，沿大圈下半部分到b，然後l，然後ck的下半部分，..
然後c1的下半部分，然後l1，回到a，在這條閉曲線內，f(z)解析。由於z0在c內，不妨設，z0在γ1內，則f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 積分曲線為γ1此時由於f(z)/(z-z0)在γ2內無奇點，則f(z)/(z-z0)在γ2上的積分為0因此 f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 積分曲線為γ1+γ2下面觀察γ1+γ2，可以看出 γ1+γ2=c+c1⁻+c2⁻+.ck⁻，（因為所有的l正好抵消了，而所有的小圈走的是順時針，大圈走的是逆時針）。
因此：f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 積分曲線為c+c1⁻+c2⁻+.ck⁻即：
f(z0)=∮c f(z)/(z-z0) dz - ci f(z)/(z-z0) dz i=1到k
柯西積分公式的應用
8樓：小夥
柯西積分公式是一把鑰匙，他開啟了許多方法與定理，以下就是重要的幾個例子： 如果函式f（z）在圓│ξ-zo│f（zo） = 1/2π （上限2π、下限0） f（zo + rexp（iφ））dφ）
證明時，只需將z=zo+rexp（iφ））帶入即可。（見右圖）
此定理對於調和函式的研究、微分方程都有很大作用，在他基礎上還有很多推論，例如極值原理等定理。
解析函式無窮可微性。
乙個解析函式不僅有一階導數， 而且有各高階導數， 它的 值也可用函式在邊界上的值通過積分來表示。 這一點和實變函式完全不同。 乙個實變函式在某一區間上可導， 它的導數在這區間上是否連續也不一定， 更不要說它有高階導數存在了。
而利用柯西積分公式可以做數學歸納法證明如下定理：
解析函式f(z)的導數仍為解析函式， 它的n階導數為：(見右圖)
n！/ 2πi （ c f（z）/（z-zo）^(1+n) dz）
由定理可知，由函式在區域d內的 解析性，不僅推出其導數的連續性，而且也推出其各階導數在d記憶體在且連續。這是解析函式與一元實變數可微函式本質區別。這便是解析函式所具有的極好的性質，也使得人們對它的研究更具意義，讓解析函式論能夠單獨脫離於實函式而充滿活力！
liouville定理。
有界整函式必為常數。
利用柳維爾定理可以行反證法簡潔證明代數學基本定理：
一元n次方程在複數域內必有解 即柯西積分定理的逆定理：
柯西積分定理： 設c是一條簡單閉曲線，函式f（z）在以c為邊界的有界區域d內解析，在閉區域d『上連續，那麼有： f(z)對曲線的閉合積分值為零。)
如果函式f(z)在區域d內連續，並且對於d內的任一條簡單閉曲線c，我們有∮c f(z) dz =0
那麼f(z)在區域d內解析。
他刻畫了解析函式的又一種定義。
柯西公式求積分
9樓：網友
設f(z)=1/(z²+4z-3)。令z²+4z-3=0，z1=-2+√7，z2=-2-√7，顯然，在f(z)在丨z丨=2的域內，f(z)=1/(z²+4z-3)僅有乙個一階極點z1=-2+√7，由柯西積分定理有，原式=(2πi)res[f(z),z1)=(2πi)/[z²+4z-3]'丨(z=-2+√7)=(πi)/√7。
供參考。
柯西不等式證明，柯西不等式的簡便證明方法？？
cauchy不等式的形式化寫法就是 記兩列數分別是ai,bi，則有 ai 2 bi 2 ai bi 2.令 f x ai x bi 2 bi 2 x 2 2 ai bi x ai 2 則恆有 f x 0.用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 4 ai bi 2 4 ai 2 bi 2 0.於是...
一道定積分證明題,一道定積分證明題
納姆大這裡寫成k.分部積分 上式 f x sinkx k f x sin kx dx k 由於f x 在a到b連續,所以有界。sinkx是有界函式版,所以f x sin kx k趨於0,所以 f x sin kx dx k 0那麼原式權 f b sinkb f a sinka k 從有界性來看,明顯...
跡的柯西不等式，求證明！！
回去翻高等代數去。這個書上有。書上沒有這裡也說不清楚。柯西不等式的證明過程，要詳細 柯西不等式有很多，不是很多，拓麻的，幾乎都是他的。利用柯西不等式證明 全部開啟，不能直接用柯西不等式。a b a b 首先 a b a b 推出 a b 現在只需要證明 a b 用兩次柯西不等式 a b a b 有 ...