1樓：老
cauchy不等式的形式化寫法就是：
記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則恆有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
還可以用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
2樓：魚蕊守嫣
孩子，這道題，我來吧。
[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=[(a+b)*1/(a+b)+(b+c)*1/(b+c)+(c+a)*1/(c+a)]^2=3^2=9
那麼就可以得到2(a+b+c)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=9
接著 就。
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>=9/(a+b+c)你看看吧。，，看懂了就給我五顆星哦
，，，一定哦。。。
柯西不等式的簡便證明方法？？
3樓：鄭睿智
柯西不等式可以簡單地記做：平方和的積 ≥ 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。
如：兩列數
0，1和 2，3
有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
形式比較簡單的證明方法就是構造一個輔助函式，這個輔助函式是二次函式，於是用二次函式取值條件就得到cauchy不等式。
還有一種形式比較麻煩的，但確實很容易想到的證法，就是完全把cauchy不等式右邊-左邊的式子，化成一組平方和的形式。
我這裡只給出前一種證法。
cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恆有
f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有
δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
學了更多的數學以後就知道，這個不等式可以推廣到一般的內積空間中，那時證明的書寫會更簡潔一些。我們現在的證明只是其中的一個特例罷了。
柯西不等式的證明 20
4樓：匿名使用者
cauchy不等式的形式化寫法就是：
記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則恆有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
還可以用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種方法證，這裡只寫出兩種較常用的證法．
柯西不等式怎麼證明
5樓：吳夢之
看選修4-5第38頁。
思路：令a=a1²+a2²+……+an²，b=b1²+b2²+……+bn²，c=a1b1+a2b2+……+anbn
作函式f（x）=ax²+2cx+b
如果能證明函式f（x）恆大於等於0，即f（x）的判別式δ≤0，就得到4c²≤4ab，即柯西不等式得證。
而f（x）=（a1²x²+2a1b1x+b1²）+（a2²x²+2a2b2x+b2²）+……+（an²x²+2anbnx+bn²）
=（a1x+b1）²+（a2x+b2）²+……+（anx+bn）²
≥0取「=」的條件：a1=a2=……=an=0，或b1=b2=……=bn=0；
或存在常數x使aix+bi=0，i=1，2，……，n
下面是我自己想的。
方法一：左邊=（a1²+a2²+……+an²）（b1²+b2²+……+bn²）
右邊=（a1b1+a2b2+……+anbn）²
分別，通項分別為
左邊=ai²bi²+ai²bj²+aj²bi²+aj²bj²，1≤i＜j≤n
右邊=ai²bi²+2aibiajbj+aj²bj²，1≤i＜j≤n
左邊﹣右邊=（aibj）²﹣2（aibj）（ajbi）+（ajbj）²=（aibj﹣ajbi）²≥0
取「=」的條件為ai=0（即aj=0）或bi=0（即bj=0）或ai：bi=aj：bj=const（即ai=kbi）
方法二：數學歸納法
怎麼證明柯西不等式
6樓：小腳刀
(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≥(a1b1+a2b2+……+anbn)^2
證：考慮這個代數式：(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2
顯然有(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2≥0
左邊拆開，(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2≥0
從函式圖象上來看，
令f(t)=(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2
若f(t)≥0，則a1^2+a2^2+……+an^2>0，
且△=4(a1b1+a2b2+……+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≤0
第一個條件天然滿足，後一個條件整理一下就是柯西不等式
高等數學中柯西不等式的證明
7樓：大學
證法1：(a1^2+a2^2+...ai^2)*(b1^2+b2^2+...
+bi^2)-(a1b1+a2b2+...+aibi)^2=1/2(aibj-ajbi)^2>=0其中(1<=i 解 因為x1 x2 x3 xn s 故 x1 x2 x2 x3 xn x1 s x1 x2 x2 x3 xn x1 x1 x2 x3 xn x1 x2 x2 x2 x3 x3 xn x1 x1 2 x1 2 x2 2 x3 2 xn 2 x1 x2 x3 xn 2s即 x1 x2 x2 x3 xn ... 令f x x bain，則f x n x n 1 f x n n 1 x du n 2 從而，zhi當x 0，n 1時，dao有f x 0於是f x 在 0，上是下凸的，回 所以對答於x 0，y 0，x y，有 f x f y 2 f x y 2 即 x n y n 2 x y 2 n.考慮求導得出... 可以利用導數的知識進行解答,不等式兩邊相加減,得到一個函式,求導,利用導數性質就可以比較大小了。望採納,謝謝。高數中的不等式證明問題,如圖 首先根據不等式的形式構造輔助函式 求二階導數得出二階導數恆大於0,這個函式是凹函式,根據函式在凹區間的性質和定義,有也就是題目給的不等式 f x xlnx 顯然...不等式證明
高數不等式證明，高數，不等式，怎麼證明？
高數不等式證明問題,高數不等式證明問題