1樓:手機使用者
z2 +z=(
baicosθ
du+isinθ)
zhi2 +(cosθ+isinθ)
=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ=2cos3θ 2
cosθ 2
+i(2sin3θ 2
cosθ 2
)=2cosθ 2
(cos3θ 2
+isin3θ 2
)=-2cosθ 2
[cos(-π+3θ 2
)+isin(-π+3θ 2
)]∵θdao
∈(π內,容2π)
∴θ 2
∈(π 2
,π)∴-2cos(θ 2
)>0所以複數z2 +z的模為-2cosθ 2
,輻角(2k-1)π+3θ 2
(k∈z).
一道關於複數的題目
2樓:匿名使用者
(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/[(c+di)(c-di)]
=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2-d^2i^2)=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)把(ac+bd)看成a向量乘以b向量,c^2+d^2看成b向量的模(ac+bd)/(c^2+d^2)=1 就是 a*b/(b模)但a模我也不會。。。。(bc-ad)/(c^2+d^2)=√3不會用。。。。。不過應該是結合平面向量的a*b/(a模*b模)=cos∠aob
3樓:匿名使用者
一、基本知識點——
複數的輻角:以x軸的正半軸為始邊,向量所在射線(起
點是o點)為終邊的角θ叫做複數z=a+bi的輻角。
不等於零的複數z=a+bi的輻角有無限多個值,這些值相差2π
的整數倍。適合[0,2π]的輻角θ的值,叫做輻角的主值,記
作argz,即0≤argz<2π。
當a∈r+時,有下列關係:
arga=0
arg(-a)=π
arg(ai)=
arg(-ai)=π
複數相等的充要條件:每一個不等於零的複數有唯一的模與輻
角的主值。並且可由他的模與輻角的主值唯一確定。因此兩個非零
複數相等當且僅當他們的模與輻角的主值分別相等。
複數的三角形式:任何一個複數z=a+bi都可以表示為r(cosθ
+isinθ)的形式,其中r=cosθ=,sinθ=,r(cosθ+isinθ)
叫做複數a+bi的三角形式,為了同三角形式區別開來,將a+bi叫做
複數的代數形式。
複數三角形式的乘法:兩個複數相乘,積的模等於各複數的
模的積;積的輻角等於各複數的輻角的和,有如下公式:
若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)
那麼z1*z2=r1(cosθ1+isinθ1)*r2(cosθ2+isinθ2)
=r1*r2*[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
複數乘法的幾何意義:兩個複數z1,z2相乘時,可以先畫出分別
與z1,z2對應的向量,,然後把向量按逆時針方向旋轉一個
角θ2(如果θ2<0,就要把按順時針方向旋轉一個|θ2|),再把它
的模變為原來的r2倍,所得的向量,就表示積z1*z2。
棣莫佛定理:複數z的n次冪(n∈n)的模等於這個複數的模的n次
冪,它的輻角等於這個複數的輻角的n倍有公式:
若z=r(cosθ+isinθ)
zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈n)
複數三角形式的除法:兩個複數相等,商的模等於被除數的模
除以除數的模所得的商,商的輻角等於被除數的輻角減去除數的輻
角所得的差,有公式:
若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2。)
=[cos(θ1-θ2)+sin(θ1-θ2)]
複數三角形式的開方:複數的n次方根(n∈n)是n個複數,它們
的模都等於這個複數的模的n次方根,它們的輻角與2π的0,1,2,
...(n-1)倍的和的n分之一。
複數r(cosθ+isinθ)的n次方根為:
(cos+isin)k=0,1,...(n-1)
負實數的平方根:若a∈r+,則-a的平方根為±i。
實數係數一元二次方程虛根成對定理:實數係數一元二次
方程ax2+bx+c=0在複數集c中有兩個根:x=,
(b2-4ac<0)顯然它們是一對共軛複數。這說明實係數一元二
次方程若有一個虛數根,那麼這個虛數的共軛複數必為另一根。
二項方程:形如anxn+a0=0(a0,an∈c且an≠0)的方程叫做
二項方程。任何一個二項方程都可以化成xn=b(b∈c)的形式,
因此都可以通過複數開方來求根。
一般地,方程xn=b(b∈c)的根的幾何意義是複平面內的n個
點,這些點均勻的分佈在以原點為圓心,以為半徑的圓上。
二、重點與難點——
本專題的重點是複數的三角形式,它將高中的三角變換知識
與複數的有關概念緊密地連在一起,產生許多重要的變換,特別
是圍繞著複數的輻角的有關概念與運算及複數的應用,成為本專
題的難點所在。在學習時不斷地總結體會與經驗是學好這一專題
的關鍵。
三、例題詳解——
例1:選擇題(每題僅一個正確答案)
(1)若α=π,θ=arccos(cosα),則複數z=cosθ+isinθ
的輻角主值是( )
a、π b、π
c、 d、π
(2)若複數z=1-cosx+isinx(π a、- b、 c、π- d、π+ 解:(1)∵0≤θ<2π 排除b。 θ=arccos(cosα)=α 0<α<π ∴θ=arccos[cos(2π-π)]=π z=cosπ+isinπ 選a (2)先將z化為複數的三角形式: z=1-cosx+isinx=2sin2+i*2sin*cos =2sin(sin+icos) =2sin[cos(-)+isin(-)] =2sin[cos(2π+-)+isin(2π+-)] =2sin[cos(π-)+isin(π-)] 此時2sin>0,π-∈[0,2π] ∴選c。 例2:填空題: (1)1+i的平方根是=______; (2)若z=cos+isin,則1+z+z7+z13+z19等於______; (3)若a=|+i|,z=a+i,則z5=______; (4)z=a- i(a∈r)對應的點都在單位圓內(不包括單位圓 的邊界),則實數a的取值範圍是______; (5)已知z1,z2是兩個不等於零的複數,它們在複平面上 對應的點分別為a,b,且z1,z2滿足關係式4z12-2z1*z2+z22=0, 則△aob的形狀是______。 解:(1)將1+i化為三角形式: r==2,tgθ==,θ=, 1+i=2(cos+isin),它的平方根: (cos+isin)(k=0,1) ∴平方根為(cos+isin)=+i, (cosπ+isinπ)=--i; (2)∵z19=(cos+isin)19 ∴z19=cos-isin z13=cosπ+isinπ=cosπ+isinπ=-cosπ+isinπ z7=cosπ+isinπ=-cosπ-isinπ 原式=1+cos+isin-cosπ-isinπ-cosπ+isinπ+cos-isin =1+2cos-2cosπ; (3)∵a=|+i|== z=a+i=+i=2(cos+isin) z5=[2(cos+isin)]5 =32(cosπ+isinπ) =32(-cos+isin) =-+i =-16+16i; (4)∵|z|<1即有|a- i|<1 <1,0 ∴- (5)由4z12-2z1*z2+z22=0可得: (z1-z2)2=-3z12=(z1*i)2 z1-z2=±z1i (1i)z1=z2, 2z1(cos+isin)=z2或2z1[cos(-)+isin(-)]=z2, 由此可以看出2|z1|=|z2|,z1對應的向量逆時針或順 時針旋轉可得到z2所對應的向量,且2|oa|=|ob|, ∴△aob是直角三角形。 例3:求複數z=(0<θ<) 的模與輻角,並求當θ=時,zn∈r的最小自然數n的值。 解:z=== =-sinθ+icosθ =cos(+θ)isin(+θ) ∴|z|=1,argz=+θ(0<θ<) 當θ=時 zn=cosn(+)+isinn(+) zn=cosπ+isinπ 若使zn∈r,則必有sinπ=0 但26,15互質,∴n=26時,sin15π=0 此時zn=cos15π=-1∈r, ∴滿足題設條件的最小自然數n=26。 例4:設z1,z2∈c,且|z1|=1,|z2|=,|z1-z2|=2。 求:。解:設:z1=cosα+isinα,z2=(cosβ+isinβ), ∵|z1-z2|=2 ∴|(cosα-cosβ)+(sinα-sinβ)i|=2 即(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=4 cos2α-2cosαcosβ+2cos2β+sin2α-2sinαsinβ+2sin2β=4 3- 2cos(α-β)=4, ∴cos(α-β)=- ∴sin(α-β)=±=±, ∴==[cos(α-β)isin(α-β)] =[-±i] ∴=-±i。 例5:設為純虛數,試問當z變動時它所對應的點的軌跡 是什麼? 解:設=t*i(t∈r), 則z=zti-ti z=,設z=x+yi(x,y∈r), 則有:x+yi=, 12+22:x2+y2==x ∴x2-x+y2=0,即z點的軌跡為(x-)2+y2=,這是 以(,0)為圓心,為半徑的圓。 四、練習題—— 1.選擇題:(每題僅有一個正確答案) (1)若z1=cos150°+isin150°,z2=cos300°+isin300°, 則z1+z2的輻角主值( ) a、45° b、150° c、450° d、225° (2)計算(1-i)6+(1-i)12的值是( ) a、27 b、-27 c、0 d、1 (3)把複數1+i對應的向量按順時針方向旋轉π,所得到的 向量對應的複數( ) a、 b、 c、 d、 (4)若z*+z-=3,則複數z所表示的點集為( ) a、圓 b、直線 c、兩點 d、圓與實軸 (5)若z=a+bi(a,b∈r),r=,θ=argz,點z在第四象限, 則有( ) a、θ=arcsin b、θ=arccos c、θ=arctg d、θ=2π+arctg 2.填空題: (1)3+4i的平方根是______。 (2)設|z+1|=|z-1|且arg=,則複數z=______。 (3)計算=______。 (4)將z=sin30°-icos30°所對應的向量順時針方向旋轉120°, 所得向量對應的複數是______。 (5)設5+6i的輻角主值是θ,那麼12-10i的輻角主值是______(用θ表示)。 (6)若x∈c,則方程x2+ix+i-1=0的解是_____。 (7)方程z3=在複數集上的解集是______。 3.解答題: (1)求值 (n∈n) (2)z=, 求:複數z的模。 (3)求s=1+2i+3i2+4i3+...+(4n+1)i4n。 (4)若z∈c且z2=8+6i, 求:z3-16z-的值。 (5)求值為實數的n的最小正整數值,此時實數值 是多少? (6)設t=cosπ+isinπ,求:t+的值。另,若cosπ+isinπ 是x5-1=0的一個根,求:cosπ與cosπ的值。 (7)若z∈c,且|z|=1 求:|z++i|取得最大值時z的值。 1 若複數z m 1 m 2 i m r 為實數,則內m 2 0,即容m 2.所以,使複數z m 1 m 2 i m r 為實數的m的值為2 2 若複數z m 1 m 2 i m r 為純虛數,則 m 1 0 m 2 0 解得 m 1.所以,使複數z m 1 m 2 i m r 為純虛數的m的值為 ... 你先設複數是a bi。然後把它代入 等於 a bi 2 2 還有一個就是a bi 4 a bi是實數。就可以推斷出虛部等於0把a bi 4 a bi化簡之後得出的結果聯絡著 a bi 2 2解方程就好了 至於 a bi 2 2的解決就是 a 2 2 b 2 2 2 4 a bi 4 a bi則是a ... 一樣的方法啊 z x 2 y 2 1 x 2 y 2 1 設x sint y cost z 1 i x 1 2 y 1 2 sint 1 2 cost 1 2 sin 2t 2sint 1 cos 2t 2cost 1 2 sint cost 3 2 2 sintcos45 版 costsin45 ...設複數zm1m2imR,試求m為何值時
已知複數z滿足z 2,且z 4 z是實數,求複數z
已知複數ZXyix,y屬於R,滿足Z1,求複數