1樓:神獸丶
三角函式中自變數是角度、變數是比值、即函式、、
正切、正弦是越來越大、、、餘弦是越來越小、、
可以根據實際情況求得上下限的
2樓:匿名使用者
根據三角函式的單調性來解題,確定定義域。
3樓:百解思晨
(媽的!bai樓上別誤人子弟!不du懂別亂來!)
求使下列函式zhi取得最大值dao、最小值的自
回變數x的集合,並分別寫出最答大值、最小值:y=1-1/3*sinx解:sinx=-1時y取最大值4/3,這時x 的集合是,sinx=1時y取最小值2/3,這時x 的集合是。
2.單調區間:y=-1/2sinx解:
y=u/2是減函式,u=sinx是增函式時,y=-1/2*sinx是減函式,∴它的減區間是sinx的增區間,即[(2k-1/2)π,(2k+1/2)π],k為整數;同理,它的增區間是sinx的減區間,即[(2k+1/2)π,(2k+3/2)π]。
三角函式最大值最小值怎麼求
4樓:匿名使用者
三角函式最值是中學數學
的一個重要內容,加強這一內容的教學有助於學生進一步掌握已經學過的三角知識,溝通三角,代數,幾何之間的聯絡,培養學生的思維能力.
本文介紹三角函式最值問題的一些常見型別和解題方法.
一,利用三角函式的有界性
利用三角函式的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1來求三角函式的最值.
[例1]a,b是不相等的正數.
求y=的最大值和最小值.
解:y是正值,故使y2達到最大(或最小)的x值也使y達到最大(或最小).
y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x
=a+b+
∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1
∴當sin2x=±1時,即x=(k∈z)時,y有最大值;
當sinx=0時,即x= (k∈z)時,y有最小值+.
二,利用三角函式的增減性
如果f(x)在[α,β]上是增函式,則f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是減函式,則f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β).
[例2]在0≤x≤條件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值.
解:利用二倍角餘弦公式的變形公式,有
y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1
=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1
=2cos(2x+)-1
∵0≤x≤,≤2x+≤
cos(2x+)在[0,)上是減函式
故當x=0時有最大值
當x=時有最小值-1
cos(2x+)在[,]上是增函式
故當x=時,有最小值-1
當x=時,有最大值-
綜上所述,當x=0時,ymax=1
當x=時,ymin=-2-1
三,換元法
利用變數代換,我們可把三角函式最值問題化成代數函式最值問題求解.
[例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值.
解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x
=1+2sinxcosx-sin2xcos2x
令t=sin2x
∴-≤t≤ 1
f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 2
在1的範圍內求2的最值
當t=,即x=kπ+(k∈z)時,f(x)max=
當t=-,即x=kπ+(k∈z)時,f(x)min=-
附:求三角函式最值時應注意的問題
三角函式最值問題是三角函式性質的重要內容之一,也是會考,高考必考內容,在求解中欲達到準確,迅速,除熟練掌握三角公式外,還應注意以下幾點:
一,注意sinx,cosx自身的範圍
[例1]求函式y=cos2x-3sinx的最大值.
解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+
∵-1≤sinx≤1,
∴當sinx=-1時,ymax=3
說明:解此題易忽視sinx∈[-1,1]這一範圍,認為sinx=-時,y有最大值,造成誤解.
二,注意條件中角的範圍
[例2]已知|x|≤,求函式y=cos2x+sinx的最小值.
解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+
∵-≤x≤
∴-≤sinx≤
∴當sinx=-時
ymin=-(--)2+=
說明:解此題注意了條件|x|≤,使本題正確求解,否則認為sinx=-1時y有最小值,產生誤解.
三,注意題中字母(引數)的討論
[例3]求函式y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值.
解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-
∴當0≤a≤2時,cosx=,ymax=+a-
當a>2時,cosx=1,ymax=a-
當a<0時,cosx=0,ymax=a-
說明:解此題注意到引數a的變化情形,並就其變化討論求解,否則認為cosx=時,y有最大值會產生誤解.
四,注意代換後引數的等價性
[例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值.
解:設t=sinθ-cosθ=sin(θ-)
∴2sinθcosθ=1-t2
∴y=-t2+t+1=-(t-)2+
又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π
∴-≤θ-≤
∴-1≤t≤
當t=時,ymax=
當t=-1時,ymin=-1
說明:此題在代換中,據θ範圍,確定了引數t∈[-1,],從而正確求解,若忽視這一點,會發生t=時有最大值而無最小值的結論.
1.y=asinx+bcosx型的函式
特點是含有正餘弦函式,並且是一次式.解決此類問題的指導思想是把正,餘弦函式轉化為只有一種三角函式.應用課本中現成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.
例1.當-≤x≤時,函式f(x)=sinx+cosx的( d )
a,最大值是1,最小值是-1 b,最大值是1,最小值是-
c,最大值是2,最小值是-2 d,最大值是2,最小值是-1
分析:解析式可化為f(x)=2sin(x+),再根據x的範圍來解即可.
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函式
特點是含有sinx, cosx的二次式,處理方式是降冪,再化為型1的形式來解.
例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,並求出y取最小值時的x的集合.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+sin(2x+)
當sin(2x+)=-1時,y取最小值2-,此時x的集合.
3.y=asin2x+bcosx+c型的函式
特點是含有sinx, cosx,並且其中一個是二次,處理方式是應用sin2x+cos2x=1,使函式式只含有一種三角函式,再應用換元法,轉化成二次函式來求解.
例3.求函式y=cos2x-2asinx-a(a為常數)的最大值m.
解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,
令sinx=t,則y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)
(1) 若-a1時, 在t=-1時,取最大值m=a.
(2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1時,在t=-a時,取最大值m=a2+1-a.
(3) 若-a>1,即a0,
y2=4cos4sin2
=2·cos2·cos2·2sin2
所以0 注:本題的角和函式很難統一,並且還會出現次數太高的問題.
6.含有sinx與cosx的和與積型的函式式.
其特點是含有或經過化簡整理後出現sinx+cosx與sinxcosx的式子,處理方式是應用
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 進行轉化,變成二次函式的問題.
例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),則1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+)2-,
根據二次函式的圖象,解出y的最大值是1+.
相信通過這一歸納整理,大家對有關三角函式最值的問題就不會陌生了.並且好多其它的求最值的問題可以通過代換轉化成三角求最值的問題.
5樓:匿名使用者
方法一:
第一步,先明確定義域;
第二步,在圖上找出來。
方法二:求導,這一點也是先要找到定義域。
然後找出極值點,在極值點和定義域端點處就可以找到最值啦!
如何計算三角函式的最大最小值
6樓:河傳楊穎
1、化為一個三角函式
如:f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π/3)
最大值是2,最小值是-2
2、利用換元法化為二次函式
如:f(x)=cosx+cos2x=cosx+2cos2x-1=2t2+t-1 【其中t=cosx∈[-1,1]】
則f(x)的最大值是當t=cosx=1時取得的,是2,最小值是當t=cosx=-1/4時取得的,是-9/8
尋找函式最大值和最小值
找到全域性最大值和最小值是數學優化的目標。如果函式在閉合間隔上是連續的,則通過最值定理存在全域性最大值和最小值。此外,全域性最大值(或最小值)必須是域內部的區域性最大值(或最小值),或者必須位於域的邊界上。
因此,找到全域性最大值(或最小值)的方法是檢視內部的所有區域性最大值(或最小值),並且還檢視邊界上的點的最大值(或最小值),並且取最大值或最小)一個。
三角函式的定義域和值域
sin(x),cos(x)的定義域為r,值域為[-1,1]。
tan(x)的定義域為x不等於π/2+kπ(k∈z),值域為r。
cot(x)的定義域為x不等於kπ(k∈z),值域為r。
y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 [ c-√(a2;+b2;) , c+√(a2;+b2;)]
週期t=2π/ω
7樓:幻精靈家族
不論是sinx還是sin(2x-π/6) 都是三角函式f(x)=sin(x)的幾種形式
你可以令t=2x-π/6 則sin(2x-π/6)=sin(t)
也就是使sinx和sint有相同的形式
t=π/2時 sint 即sin(2x-π/6)有最大值
此時2x-π/6=t=π/2 so x=π/3
求sint的單調區間得出關於t的區間
然後再根據t=2x-π/6即可算出sin(2x-π/6)關於x的單調區間
sint t=不論是sinx還是sin(2x-π/6) 都是三角函式f(x)=sin(x)的幾種形式
你可以令t=2x-π/6 則sin(2x-π/6)=sin(t)
也就是使sinx和sint有相同的形式
t=π/2時 sint 即sin(2x-π/6)有最大值
此時2x-π/6=t=π/2 so x=π/3
求sint的單調區間得出關於t的區間
然後再根據t=2x-π/6即可算出sin(2x-π/6)關於x的單調區間
t=90度 求最大值點阿
函式的最大值和最小值，如何求函式的最大值與最小值？？
解 設矩形土地的長 為a，寬為b，建築材 料的總長為x 則建築材料的總長為2a 3b x 矩形土地的總面回積為a b 216 由 答得，a 216 b，代入 得，2 216 b 3b x 兩邊同乘以b得，532 3b 2 x b 移項後得，3b 2 x b 532 0 如果x有最小值，則這個方程有唯...
求函式y xx 的最大值和最小值
當x 1時 函式y x 3 x 1 3 x x 1 4當 1 x 3時 y x 3 x 1 3 x x 1 2x 2 值域 4 y 4 當x 3時 y x 3 x 1 x 3 x 1 4所以y x 3 x 1 的最大值是4，最小值是 4 我們可以用幾何的辦法來解決這個問題，將此函式看成是平面上一個數...
已知函式f x a bsinx的最大值和最小值分別為5與1,求實數a，b的值
a 3，b 2 解析 f x max a b 5 f x min a b 1 聯立，解得 a 3，b 2 a b 5 a b 1 所以a 3 b 2 已知函式y a bsinx的最大值是5.最小值是1.求a，b的值 b 0,a b 5,a b 1,a 3,b 2,b 0,a b 1,a b 5,a ...